PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Trong một chương trình giáo lưu âm nhạc đón tết vui xuân, ban đầu với sự tham dự của \(2100\) khán giả. Ban tổ chức đã thống kê số lượng khán giả ở lại sân khấu xem âm nhạc theo thời gian, được mô tả bởi một hàm số liên tục theo \(t \in \left[ {0;\, + \infty } \right)\): \(f'\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{l}2100 - 400t,\,0 \le t \le 3\\a{\left( {t - 3} \right)^2} + b,\,t > 3\end{array} \right.\) , với hàm số \(f\left( t \right)\) mô tả tổng sự hiện diện của khán giả theo thời gian \(t\). Sau 3 giờ 30 phút số lượng khán giả ở lại sân khấu là \(875\). Hỏi từ khi bắt đầu cho đến khi khán giả ra về hết, trung bình mỗi giờ còn bao nhiêu khán giả ở lại tham gia chương trình âm nhạc?

Đáp án: 36

Tại thời điểm ban đầu \(t = 0\), quần thể có 24 tế bào, tức là \(P(0) = 24\).

Thay \(t = 0\) vào hàm số \(P(t)\), ta có: \(P(0) = \frac{{2a}}{{b + 3{e^0}}} = \frac{{2a}}{{b + 3}}\)

\( \Rightarrow \frac{{2a}}{{b + 3}} = 24 \Rightarrow 2a = 24(b + 3) \Rightarrow a = 12(b + 3)\quad (1)\)

Tốc độ sinh trưởng là đạo hàm của số lượng tế bào theo thời gian:

\(P'(t) = \frac{{ - 2a.3.( - 0,75).{e^{ - 0,75t}}}}{{{{(b + 3{e^{ - 0,75t}})}^2}}}\)\( \Rightarrow P'(t) = \frac{{4,5a.{e^{ - 0,75t}}}}{{{{(b + 3{e^{ - 0,75t}})}^2}}}\)

Tại thời điểm \(t = 0\), tốc độ sinh trưởng là \(6\) tế bào/giờ, tức là \(P'(0) = 6\).

Thay \(t = 0\) vào \(P'(t)\): \(P'(0) = \frac{{4,5a.{e^0}}}{{{{(b + 3{e^0})}^2}}} = \frac{{4,5a}}{{{{(b + 3)}^2}}}\)\( \Rightarrow \frac{{4,5a}}{{{{(b + 3)}^2}}} = 6\quad (2)\)

Thay \((1)\) vào \((2)\), ta được:

\(\frac{{4,5.12(b + 3)}}{{{{(b + 3)}^2}}} = 6\)\( \Leftrightarrow \frac{{54(b + 3)}}{{{{(b + 3)}^2}}} = 6\)\( \Leftrightarrow \frac{{54}}{{b + 3}} = 6 \Rightarrow b + 3 = 9 \Rightarrow b = 6 \Rightarrow a = 12(6 + 3) = 108\)

Vậy hàm số là: \(P(t) = \frac{{216}}{{6 + 3{e^{ - 0,75t}}}}\)

Sau một thời gian về lâu dài nghĩa là ta đi tìm giới hạn của hàm số khi \(t \to  + \infty \).

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } P(t) = \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } \frac{{216}}{{6 + 3{e^{ - 0,75t}}}} = \frac{{216}}{6} = 36\) do \(\mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } {e^{ - 0,75t}} = 0\)

Sau một thời gian về lâu dài, số lượng tế bào của quần thể nấm men sẽ tiến về giá trị 36 tế bào.

Đáp số: 106.

Sau 3 năm, số tiền cả gốc lẫn lãi ông An nhận được từ ngân hàng là:

\(T = 100{(1 + 0,06)^3}\)

Theo giả thiết về lạm phát, giá trị của \(A\) đồng ở hiện tại tương đương với \(A{(1 + 0,04)^3}\) đồng sau 3 năm.

Do đó, để quy đổi số tiền \(T\) nhận được sau 3 năm về mức giá tại thời điểm hiện tại, ta thực hiện phép chia:

\(A = \frac{T}{{{{(1 + 0,04)}^3}}} = 100{\left( {\frac{{1,06}}{{1,04}}} \right)^3} \approx 105,88\).

Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị, số tiền tương đương ông An nhận được là 106 triệu đồng.