Một khu vườn hình elip \((E),\) có độ dài trục lớn bằng \[10\,{\rm{m}}\] và trục nhỏ bằng \[8\,{\rm{m}}\] (như hình vẽ). Khu vực \[A\] để trồng hoa; khu vực \[B\] để trồng cỏ, là nửa hình tròn có tâm là một tiêu điểm của elip \((E),\) bán kính bằng \[1\,{\rm{m;}}\] còn lại là khu vực \[C\] (phần tô đậm) người ta lát gạch.

 

Diện tích phần lát gạch bằng bao nhiêu \({{\rm{m}}^2}?\) (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Đáp án: 0,70.

Tổng chi phí (triệu đồng) để xí nghiệp sản xuất \(x\left( {{m^3}} \right)\) sản phẩm trong một ngày là:

\(C\left( x \right) = 2 + 0,5x + 0,005{x^2}\) với \(0 \le x \le 36\).

Chi phí trung bình (triệu đồng) trên mỗi mét khối sản phẩm là:

\(\bar C\left( x \right) = \frac{{C\left( x \right)}}{x} = \frac{{2 + 0,5x + 0,005{x^2}}}{x}\; = \frac{2}{x} + 0,5 + 0,005x\).

\(\bar C'\left( x \right) =  - \frac{2}{{{x^2}}} + 0,005 = \frac{{0,005{x^2} - 2}}{{{x^2}}}\).

\({\bar C^{'\left( x \right)}} = 0 \Rightarrow {x^2} = 400 \Rightarrow x = \sqrt {400}  = 20\).

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy chi phí trung bình thấp nhất là:

\(\bar C\left( {20} \right) \approx 0,70\) đạt được khi \(x = 20\).

Trả lời: 0,4

Xét hệ trục toạ độ như hình vẽ, diện tích tam giác \(OAB\) vuông cân tại \(B\).

Theo giat thiết ta có \(OA = 4,\,\,A\left( {4;0} \right)\). Hình vuông có nửa đường chéo bằng \(4\) nên diện tích hình vuông là \(32\). Diện tích tô màu là \(\frac{{64}}{5}\).

Xét riêng trong tam giác \(OAB\) có diện tích phần tô màu bằng \(\frac{8}{5}\).

Theo giả thiết, diện tích phần tô màu trong tam giác \(OAB\) được tính bởi công thức

\[\int_0^4 {\left| {a{x^3} + b{x^2} - x} \right|dx}  = \frac{8}{5}\]. Từ đó ta có hệ

\[\left\{ \begin{array}{l}\int_0^4 {\left| {a{x^3} + b{x^2} - x} \right|dx}  = \frac{8}{5}\\64a + 16b - 4 = 0\\a < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{1}{5}\\b = \frac{{21}}{{20}}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{1}{{20}}\\b = \frac{9}{{20}}\end{array} \right.\end{array} \right.\]

Trường hợp \[\left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{1}{5}\\b = \frac{{21}}{{20}}\end{array} \right. \Rightarrow f\left( x \right) = 0\] có nghiệm là \(0,\,\,\frac{5}{4},\,\,4\) (đồ thị cắt \(Ox\) trong \(\left( {0;4} \right)\) - loại)

Trường hợp \[\left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{1}{{20}}\\b = \frac{9}{{20}}\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow f\left( x \right) = 0\] có nghiệm \(0,\,\,\,4,\,\,5\) thoả mãn. Vậy, \(a + b = \frac{2}{5} = 0,4\).