Một công ty có ý định thiết kế một logo hình vuông có độ dài nửa đường chéo bằng 4. Biểu tượng 4 chiếc lá (được tô màu) được tạo thành bởi các đường cong đối xứng với nhau qua tâm của hình vuông và qua các đường chéo.

Một trong số các đường cong ở nửa bên phải của logo là một phần của đồ thị hàm số bậc ba dạng \(y = a{x^3} + b{x^2} - x\) với hệ số \(a < 0\). Để kỷ niệm ngày thành lập \(2/3\), công ty thiết kế để tỉ số diện tích được tô màu so với phần không được tô màu bằng \(\frac{2}{3}\). Tính \(a + b\).

Trả lời: 0,4

Xét hệ trục toạ độ như hình vẽ, diện tích tam giác \(OAB\) vuông cân tại \(B\).

Theo giat thiết ta có \(OA = 4,\,\,A\left( {4;0} \right)\). Hình vuông có nửa đường chéo bằng \(4\) nên diện tích hình vuông là \(32\). Diện tích tô màu là \(\frac{{64}}{5}\).

Xét riêng trong tam giác \(OAB\) có diện tích phần tô màu bằng \(\frac{8}{5}\).

Theo giả thiết, diện tích phần tô màu trong tam giác \(OAB\) được tính bởi công thức

\[\int_0^4 {\left| {a{x^3} + b{x^2} - x} \right|dx}  = \frac{8}{5}\]. Từ đó ta có hệ

\[\left\{ \begin{array}{l}\int_0^4 {\left| {a{x^3} + b{x^2} - x} \right|dx}  = \frac{8}{5}\\64a + 16b - 4 = 0\\a < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{1}{5}\\b = \frac{{21}}{{20}}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{1}{{20}}\\b = \frac{9}{{20}}\end{array} \right.\end{array} \right.\]

Trường hợp \[\left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{1}{5}\\b = \frac{{21}}{{20}}\end{array} \right. \Rightarrow f\left( x \right) = 0\] có nghiệm là \(0,\,\,\frac{5}{4},\,\,4\) (đồ thị cắt \(Ox\) trong \(\left( {0;4} \right)\) - loại)

Trường hợp \[\left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{1}{{20}}\\b = \frac{9}{{20}}\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow f\left( x \right) = 0\] có nghiệm \(0,\,\,\,4,\,\,5\) thoả mãn. Vậy, \(a + b = \frac{2}{5} = 0,4\).