Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) có đường cao AD và đường phân giác trong AO (D, O thuộc cạnh BC). Kẻ OM vuông góc với AB tại M, ON vuông góc với AC tại N.

(a) Chứng minh bốn điểm D, M, N, O cùng nằm trên một đường tròn.

(b) Chứng minh \(OM = ON\) và \[\widehat {BDM} = \widehat {ODN}\].

(c) Qua O, kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt MN tại I, AI cắt BC tại K. Chứng minh K là trung điểm của BC.

Một chiếc quạt giấy khi xòe ra có hình dạng của một hình quạt tròn với bán kính \(25 cm\) và khi xòe hết thì góc tạo bởi hai thanh nan ngoài cùng của chiếc quạt là \({150^0}\). Tính diện tích phần giấy làm quạt, biết rằng phần giấy của quạt là một hình vành khuyên có bán kính đường tròn nhỏ là \(10 cm\).

Sau Tết Nga có 1500000 đồng tiền lì xì. Mỗi ngày Nga để dành được 25000 đồng. Nga muốn mua một chiếc xe đạp giá 3280000 đồng. Hỏi Nga phải để dành ít nhất bao nhiêu ngày để đủ tiền mua xe?

Cho phương trình \({x^2} - 2(m - 1)x + {m^2} - m - 4 = 0\) với \(m\) là tham số. Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) sao cho thỏa mãn hệ thức sau \(x_1^2 - 2{x_2}({x_2} - 2) + {m^2} - 5m = 0.\)

Cho biểu thức: \[A = \left( {\frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a + 1}} - \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a - 1}} + \frac{{2\sqrt a - 4}}{{a - 1}}} \right):\frac{1}{{\sqrt a + 1}}\] ( a \( \ge \) 0; a\( \ne 1\)). Rút gọn biểu thức A .

Vẽ đồ thị của hàm số \(y = \frac{1}{2}{x^2}\). Tìm các điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ bằng \(2\)và nhận xét về tính đối xứng giữa các điểm đó.

Biểu đồ cột ghép bên dưới biểu diễn số lượng học sinh tham gia giải thi đấu thể thao của một trường trung học cơ sở.

Chọn ngẫu nhiên một học sinh tham gia thi đấu thể thao của trường đó. Tính xác suất của mỗi biến cố sau:

A : ‘‘Học sinh được chọn là nam’’ ;

B : ‘‘Học sinh được chọn thuộc khối 6’’ ;

C : ‘‘Học sinh được chọn là nữ và không thuộc khối 9’’.