Ba bạn nam Hưng, Tuấn, Dũng và hai bạn nữ Nga, Mai tham gia nhóm vẽ báo tường của lớp 9A trong hội trại truyền thống của trường. Cô giáo chọn ngẫu nhiên hai bạn để lên ý tưởng cho báo tường. Tính xác suất của mỗi biến cố sau:

A: “Trong hai bạn được chọn, có một bạn nam và một bạn nữ.

B: “Trong hai bạn được chọn, có bạn Nga”.

a) Gọi I là trung điểm của cạnh HC.

Ta có tam giác HEC và HDC là các tam giác vuông có chung cạnh huyền HC.

nên IE = IH = IC = ID.

Vậy các điểm C, D, H, E cùng thuộc 1 đường tròn

b) Vì các điểm C, D, H, E cùng thuộc 1 đường tròn nên tứ giác CDHE nội tiếp. Do đó \(\widehat {DHE} + \widehat {ECD} = {180^o}\)

suy ra \[\widehat {ECD} = {180^o} - \widehat {DHE}.\] (1)

Ta có \(\widehat {AHF} + \widehat {DHE} = {180^o}\)(hai góc kề bù)

Nên \[\widehat {AHF} = {180^o} - \widehat {DHE}.\] (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {ECD} = \widehat {AHF}\) hay \(\widehat {ACB} = \widehat {AHF}\). (*)

Trong đường tròn (O;R) có \(\widehat {AFB} = \widehat {ACB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB). (**)

Từ (*) và (**) suy ra \(\widehat {AHF} = \widehat {AFB}\) hay \(\widehat {AHF} = \widehat {AFH}\).

Nên tam giác AHF cân tại A.

c) Vì tứ giác CDHE nội tiếp đường tròn tâm I nên I là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta CDE\).

Xét \(\Delta ABE\) vuông tại E có M là trung điểm AB.

Suy ra \(ME = MA = MB = \frac{{AB}}{2}\)nên \(\Delta AME\) cân tại M

Do đó \(\widehat {MEA} = \widehat {MAE}\)hay \(\widehat {MEA} = \widehat {BAE}\)(3)

Xét \(\Delta HEC\) vuông tại E có I là trung điểm HC.

Suy ra \(IE = IC = IH = \frac{{HC}}{2}\)nên \(\Delta IEC\) cân tại I

Do đó \(\widehat {IEC} = \widehat {ICE}\)(4)

Ta có H là giao điểm của 2 đường cao AD và BE nên H là trực tâm của\(\Delta ABC\)Do đó CH \[ \bot \] AB. Suy ra \(\widehat {ABE} = \widehat {ICE}\)(cùng phụ \(\widehat {BAC}\)) (5)

Lại có \(\widehat {BAE} + \widehat {ABE} = {90^o}\)(tam giác ABE vuông tại E) (6)

Từ (3); (4); (5); (6) suy ra \(\widehat {MAE} + \widehat {CEI} = {90^o}\)

Do đó \(\widehat {MEI} = {90^o}\) hay \(ME \bot EI\)tại E.

Vậy ME là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE.

Gọi x (cm³) là thể tích miếng kim loại thứ nhất (x > 0).

Suy ra thể tích miếng kim loại thứ hai là x + 10 (cm³).

Khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất là: \[\frac{{585}}{x}\](g/cm³).

Khối lượng riêng của miếng kim loại thứ hai là: \[\frac{{420}}{{x + 10}}\](g/cm³).

Theo bài ra ta có phương trình: \[\frac{{585}}{x} - \frac{{420}}{{x + 10}} = 9\]

Biến đổi phương trình trên, ta được: 9x² − 75x − 5 850 = 0.

Giải phương trình trên, ta được: x₁ = 30 (thỏa mãn), \[{x_2} = \frac{{ - 65}}{3}\] (loại).

Vậy khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất là \[\frac{{585}}{{30}} = 19,5\] g/cm³ và khối lượng riêng của miếng kim loại thứ hai là \[\frac{{420}}{{30 + 10}} = 10,5\] g/cm³