Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE cắt nhau tại H.

(a) Chứng minh các điểm C, D, H, E cùng thuộc 1 đường tròn.

(b) Kéo dài BE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là F. Chứng minh tam giác AHF là tam giác cân.

(c) Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Chứng minh ME là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE.

a) Gọi I là trung điểm của cạnh HC.

Ta có tam giác HEC và HDC là các tam giác vuông có chung cạnh huyền HC.

nên IE = IH = IC = ID.

Vậy các điểm C, D, H, E cùng thuộc 1 đường tròn

b) Vì các điểm C, D, H, E cùng thuộc 1 đường tròn nên tứ giác CDHE nội tiếp. Do đó \(\widehat {DHE} + \widehat {ECD} = {180^o}\)

suy ra \[\widehat {ECD} = {180^o} - \widehat {DHE}.\] (1)

Ta có \(\widehat {AHF} + \widehat {DHE} = {180^o}\)(hai góc kề bù)

Nên \[\widehat {AHF} = {180^o} - \widehat {DHE}.\] (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {ECD} = \widehat {AHF}\) hay \(\widehat {ACB} = \widehat {AHF}\). (*)

Trong đường tròn (O;R) có \(\widehat {AFB} = \widehat {ACB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB). (**)

Từ (*) và (**) suy ra \(\widehat {AHF} = \widehat {AFB}\) hay \(\widehat {AHF} = \widehat {AFH}\).

Nên tam giác AHF cân tại A.

c) Vì tứ giác CDHE nội tiếp đường tròn tâm I nên I là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta CDE\).

Xét \(\Delta ABE\) vuông tại E có M là trung điểm AB.

Suy ra \(ME = MA = MB = \frac{{AB}}{2}\)nên \(\Delta AME\) cân tại M

Do đó \(\widehat {MEA} = \widehat {MAE}\)hay \(\widehat {MEA} = \widehat {BAE}\)(3)

Xét \(\Delta HEC\) vuông tại E có I là trung điểm HC.

Suy ra \(IE = IC = IH = \frac{{HC}}{2}\)nên \(\Delta IEC\) cân tại I

Do đó \(\widehat {IEC} = \widehat {ICE}\)(4)

Ta có H là giao điểm của 2 đường cao AD và BE nên H là trực tâm của\(\Delta ABC\)Do đó CH \[ \bot \] AB. Suy ra \(\widehat {ABE} = \widehat {ICE}\)(cùng phụ \(\widehat {BAC}\)) (5)

Lại có \(\widehat {BAE} + \widehat {ABE} = {90^o}\)(tam giác ABE vuông tại E) (6)

Từ (3); (4); (5); (6) suy ra \(\widehat {MAE} + \widehat {CEI} = {90^o}\)

Do đó \(\widehat {MEI} = {90^o}\) hay \(ME \bot EI\)tại E.

Vậy ME là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE.