Một cơ sở sản xuất lập kế hoạch làm 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do cải tiến kĩ thuật, năng suất mỗi ngày tăng 10 sản phẩm. Vì thế không những hoàn thành sớm kế hoạch \[1\] ngày, mà còn vượt mức 100 sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày phải làm bao nhiêu sản phẩm. (Giả định rằng số sản phẩm mà tổ đó làm được trong mỗi ngày là bằng nhau).

a) \[{\rm{\Delta HDC}}\]vuông tại D có DI là đường trung tuyến nên \[{\rm{ID = IC = IH = }}\frac{{{\rm{HC}}}}{{\rm{2}}}\](1)

Tương tự \({\rm{\Delta HEC}}\) vuông tại E

có EI là đường trung tuyến nên \[{\rm{IE = IC = IH = }}\frac{{{\rm{HC}}}}{{\rm{2}}}\](2)

Từ (1) và (2) bốn điểm C,D,H,E cách đều I nằm trên đường tròn đường tròn tâm I đường kính HC.Vậy tứ giác CDHE nội tiếp đường tròn tâm I đường kính HC.

b) Tương tự cũng chứng minh được tứ giác AEDB nội tiếp đường tròn tâm O đường kính AB. nên \(\widehat {{\rm{BAE}}}{\rm{ = }}\widehat {{\rm{EDC}}}\)( cùng bù với \(\widehat {{\rm{EDB}}}\))

và ta cũng có \(\widehat {{\rm{BAE}}}{\rm{ = }}\widehat {{\rm{AEO}}}\)( \(\Delta {\rm{OAE}}\)cân tại O) nên \(\widehat {{\rm{AEO}}}{\rm{ = }}\widehat {{\rm{EDC}}}\)(1)

\(\widehat {{\rm{EDC}}} = \widehat {{\rm{EHC}}}\)( Hai góc nội tiếp cùng chắng của đường tròn( I)

và \(\widehat {{\rm{EHC}}}{\rm{ = }}\widehat {{\rm{HEI}}}\)(\(\Delta {\rm{IHE}}\)cân tại I) nên \(\widehat {{\rm{EDC}}}{\rm{ = }}\widehat {{\rm{HEI}}}\) (2)

Từ (1) và (2) ta có \(\widehat {{\rm{AEO}}}{\rm{ = }}\widehat {{\rm{HEI}}}\), Mà \(\widehat {{\rm{OEI}}}{\rm{ = }}\widehat {{\rm{ OEH}}}{\rm{ + }}\widehat {{\rm{HEI}}}\)\( = \widehat {{\rm{OEH}}}{\rm{ + }}\widehat {{\rm{ AEO}}}{\rm{ = 9}}{{\rm{0}}^{\rm{0}}}\)

Vậy \[OE \bot EI\] tại \(E\)\(EI\) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính \(AB.\)

c) OE = OD suy ra O thuộc trung trực của ED

IE = ID suy ra I thuộc trung trực của ED

Kết luận OI là trung trực của ED.

Vậy OI vuông góc với ED

\({\rm{A}} = \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}} \right):\frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x }}\)

\( = \frac{{\sqrt x + 1 + x}}{{\sqrt x .(\sqrt x + 1)}}.\frac{{\sqrt x .\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x }}\)

\( = \frac{{\sqrt x + 1 + x}}{{\sqrt x }}\)