Mẹ cho Mai 80 000 đồng để mua bút và sách tham khảo. Mai dự định mua một quyển sách tham khảo môn Toán có giá 45 000 đồng và một số cây bút có giá là 4 000 đồng/ cây. Hỏi bạn Mai có thể mua được tối đa bao nhiêu cây bút?

a) \[{\rm{\Delta HDC}}\]vuông tại D có DI là đường trung tuyến nên \[{\rm{ID = IC = IH = }}\frac{{{\rm{HC}}}}{{\rm{2}}}\](1)

Tương tự \({\rm{\Delta HEC}}\) vuông tại E

có EI là đường trung tuyến nên \[{\rm{IE = IC = IH = }}\frac{{{\rm{HC}}}}{{\rm{2}}}\](2)

Từ (1) và (2) bốn điểm C,D,H,E cách đều I nằm trên đường tròn đường tròn tâm I đường kính HC.Vậy tứ giác CDHE nội tiếp đường tròn tâm I đường kính HC.

b) Tương tự cũng chứng minh được tứ giác AEDB nội tiếp đường tròn tâm O đường kính AB. nên \(\widehat {{\rm{BAE}}}{\rm{ = }}\widehat {{\rm{EDC}}}\)( cùng bù với \(\widehat {{\rm{EDB}}}\))

và ta cũng có \(\widehat {{\rm{BAE}}}{\rm{ = }}\widehat {{\rm{AEO}}}\)( \(\Delta {\rm{OAE}}\)cân tại O) nên \(\widehat {{\rm{AEO}}}{\rm{ = }}\widehat {{\rm{EDC}}}\)(1)

\(\widehat {{\rm{EDC}}} = \widehat {{\rm{EHC}}}\)( Hai góc nội tiếp cùng chắng của đường tròn( I)

và \(\widehat {{\rm{EHC}}}{\rm{ = }}\widehat {{\rm{HEI}}}\)(\(\Delta {\rm{IHE}}\)cân tại I) nên \(\widehat {{\rm{EDC}}}{\rm{ = }}\widehat {{\rm{HEI}}}\) (2)

Từ (1) và (2) ta có \(\widehat {{\rm{AEO}}}{\rm{ = }}\widehat {{\rm{HEI}}}\), Mà \(\widehat {{\rm{OEI}}}{\rm{ = }}\widehat {{\rm{ OEH}}}{\rm{ + }}\widehat {{\rm{HEI}}}\)\( = \widehat {{\rm{OEH}}}{\rm{ + }}\widehat {{\rm{ AEO}}}{\rm{ = 9}}{{\rm{0}}^{\rm{0}}}\)

Vậy \[OE \bot EI\] tại \(E\)\(EI\) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính \(AB.\)

c) OE = OD suy ra O thuộc trung trực của ED

IE = ID suy ra I thuộc trung trực của ED

Kết luận OI là trung trực của ED.

Vậy OI vuông góc với ED

Gọi \[x\] là số sản phẩm phải làm mỗi ngày theo kế hoạch (sản phẩm,x \(∈{N}^{*}\))

Số sản phẩm làm trong một ngày theo thực tế là: \[x + 10\] (sản phẩm)

Thời gian làm xong sản phẩm theo kế hoạch là: \[\frac{{600}}{x}\] (ngày)

Số sản phẩm làm được trong thực tế là: \[600 + 100 = 700\] (sản phẩm)Thời gian làm xong sản phẩm theo thực tế là: \[\frac{{700}}{{x + 10}}\] (ngày)

Do thực tế hoàn thành sớm hơn kế hoạch 1 ngày nên ta có phương trình:

\[\frac{{600}}{x} - \frac{{700}}{{x + 10}} = 1\]

\[\frac{{600\left( {x + 10} \right) - 700x}}{{x\left( {x + 10} \right)}} = \frac{{x\left( {x + 10} \right)}}{{x\left( {x + 10} \right)}}\]

Suy ra \[600x + 6000 - 700x = {x^2} + 10x\]

\[{x^2} + 110x - 6000 = 0\]

Tính được \(x = - 150\,\,\left( {ktm} \right)\,\,,\,\,\,x = 40\left( {tm} \right)\).

Vậy số sản phẩm phải làm mỗi ngày theo kế hoạch là \[40\] sản phẩm.