Định \({\rm{m}}\) để phương trình sau vô nghiệm: \(\frac{{x + m}}{{x + 1}} + \frac{{x - 2}}{x} = 2\)

Thay \(x = 5\) vào phương trình ta được

\(\frac{3}{1} + \frac{2}{3} = \frac{m}{3}\)\( \Rightarrow m = 11\)

Với \(m = 11\) thì phương trình đã cho trở thành

\(\frac{{x - 2}}{{x - 4}} + \frac{{x - 3}}{{x - 2}} = \frac{{11}}{3}\,\,(1)\)

ĐKXĐ: \(x \ne 4,x \ne 2\)

\((1)\,\,\, \Rightarrow 3{(x - 2)^2} + 3(x - 3)(x - 4) = 11(x - 4)(x - 2)\)

\(3({x^2} - 4x + 4) + 3({x^2} - 7x + 12) = 11({x^2} - 6x + 8)\)

\(3{x^2} - 12x + 12 + 3{x^2} - 21x + 36 = 11{x^2} - 66x + 88\)

\(5{x^2} - 33x + 40 = 0\)

\((x - 5)(5x - 8) = 0\)

\(x = 5\) hoặc \(x = \frac{8}{5}\) (TMĐK)

Vậy tất cả các nghiệm còn lại là \(x = \frac{8}{5}\).

ĐKXĐ \(:x \ne m\) và \(x \ne 1\).

\(\frac{{x + 2}}{{x - m}} = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\) hay \(mx =  - m + 2\)

Phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ne 0}\\{\frac{{2 - m}}{m} \ne m}\\{\frac{{2 - m}}{m} \ne 1}\end{array}} \right.\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ne 0}\\{m \ne 1}\\{m \ne  - 2.}\end{array}} \right.\)