Cho phương trình 3x² + 5x – 6 = 0 có hai nghiệm x₁, x₂. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \({\rm{P}} = \frac{{2x_2^2}}{{{x_1} + {x_2}}} + 2{x_1}\).

a) Xét \[\left( {O\,;\,R} \right)\] có: \(\widehat {AEB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay \(\widehat {KEB} = 90^\circ \)

đường kính \(AB\) vuông góc với dây \(CD\) tại điểm \(I\)\( \Rightarrow \widehat {KIB} = 90^\circ \)

Xét \(\Delta KEB\) vuông tại \(E\) có cạnh huyền \(KB\) suy ra \(K,E,B\) thuộc đường tròn đường kính \(KB\) (1)

Xét \(\Delta KIB\) vuông tại \(I\) có cạnh huyền \(KB\) suy ra \(K,I,B\) thuộc đường tròn đường kính \(KB\) (2)

Hay bốn điểm \(K,E,B,I\) cùng thuộc một đường tròn.

b) Xét \(\Delta AKI\) và \(\Delta ABE\), ta có:

Góc A chung

\(\widehat {{\rm{AIK}}}{\rm{ = }}\widehat {{\rm{AEB}}}{\rm{ = 90^\circ }}\)

Do đó: tam giác AKI đồng dạng với tam giác ABE (góc – góc)

\(\frac{{{\rm{AK}}}}{{{\rm{AB}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{AI}}}}{{{\rm{AE}}}}\)

\({\rm{AK}}{\rm{.AE = AI}}{\rm{.AB}}\) (đpcm)

c) Xét \[\Delta APB\] có: \[PI \bot AB\left( {I \in AB} \right)\]; \[AE \bot PB\left( {E \in PB} \right)\]; \[PI \cap AE \equiv \left\{ K \right\}\]

K là trọng tâm của \[\Delta APB\]

\(PQ \bot AP\left( {Q \in AP} \right)\)

\(\widehat {AQB} = 90^\circ \) hay \(\widehat {AQK} = 90^\circ \)

Đường kính \(AB\) vuông góc với dây \(CD\) tại điểm \(I\)

\(\widehat {AIK} = 90^\circ \)

Chứng minh được bốn điểm \(A,I,Q,K\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AK\) suy ra \(AIKQ\) là tứ giác nội tiếp

\(\widehat {QAK} = \widehat {QIK}\) (hai góc nt cùng chắn )

Ta có: \(KEBI\) là tứ giác nội tiếp (cmt)

\(\widehat {KIE} = \widehat {KBE}\) (hai góc nt cùng chắn )

Lại có: \(\widehat {QAK} = \widehat {KBE}\) (hai góc nt cùng chắn cung )

\(\widehat {KIE} = \widehat {KIQ}\) hay \(IK\) là phân giác của \(\widehat {EIQ}\) (đpcm)

Gọi số ngày Nga phải để dành để đủ tiền mua xe là x (ngày), \(\left( {x \in N*} \right)\)

Số tiền Nga để dành được sau \(x\)ngày là \(25000.x\) (đồng).

Sô tiền Nga có (cả tiền lì xì và tiền để dành) là \(1500000 + 25000.x\) (đồng)

Để đủ tiền mua xe thì số tiền Nga có phải lớn hơn hoặc bằng \[3280000\] nên ta có:

\(1500000 + 25000.x \ge 3280000\)

\(25000.x \ge 3280000 - 1500000\)

\(25000.x \ge 1780000\)

\(x \ge 71,2\)

Mà x là số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn \(x \ge 71,2\) nên x = 72.

Vậy để đủ tiền mua xe, Nga phải để dành tiền ít nhất trong \(72\)ngày.