Giả sử một quả dưa hấu không hạt ruột đỏ dạng hình cầu có đường kính 25cm và phần vỏ dày 2cm. Coi phần ruột màu đỏ cũng có dạng hình cầu và đặc. Thể tích phần ruột màu đỏ chiếm bao nhiêu phần trăm thể tích quả dưa hấu? (Kết quả làm tròn tới chữ số thập phân thứ hai)

a) Xét \[\left( {O\,;\,R} \right)\] có: \(\widehat {AEB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay \(\widehat {KEB} = 90^\circ \)

đường kính \(AB\) vuông góc với dây \(CD\) tại điểm \(I\)\( \Rightarrow \widehat {KIB} = 90^\circ \)

Xét \(\Delta KEB\) vuông tại \(E\) có cạnh huyền \(KB\) suy ra \(K,E,B\) thuộc đường tròn đường kính \(KB\) (1)

Xét \(\Delta KIB\) vuông tại \(I\) có cạnh huyền \(KB\) suy ra \(K,I,B\) thuộc đường tròn đường kính \(KB\) (2)

Hay bốn điểm \(K,E,B,I\) cùng thuộc một đường tròn.

b) Xét \(\Delta AKI\) và \(\Delta ABE\), ta có:

Góc A chung

\(\widehat {{\rm{AIK}}}{\rm{ = }}\widehat {{\rm{AEB}}}{\rm{ = 90^\circ }}\)

Do đó: tam giác AKI đồng dạng với tam giác ABE (góc – góc)

\(\frac{{{\rm{AK}}}}{{{\rm{AB}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{AI}}}}{{{\rm{AE}}}}\)

\({\rm{AK}}{\rm{.AE = AI}}{\rm{.AB}}\) (đpcm)

c) Xét \[\Delta APB\] có: \[PI \bot AB\left( {I \in AB} \right)\]; \[AE \bot PB\left( {E \in PB} \right)\]; \[PI \cap AE \equiv \left\{ K \right\}\]

K là trọng tâm của \[\Delta APB\]

\(PQ \bot AP\left( {Q \in AP} \right)\)

\(\widehat {AQB} = 90^\circ \) hay \(\widehat {AQK} = 90^\circ \)

Đường kính \(AB\) vuông góc với dây \(CD\) tại điểm \(I\)

\(\widehat {AIK} = 90^\circ \)

Chứng minh được bốn điểm \(A,I,Q,K\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AK\) suy ra \(AIKQ\) là tứ giác nội tiếp

\(\widehat {QAK} = \widehat {QIK}\) (hai góc nt cùng chắn )

Ta có: \(KEBI\) là tứ giác nội tiếp (cmt)

\(\widehat {KIE} = \widehat {KBE}\) (hai góc nt cùng chắn )

Lại có: \(\widehat {QAK} = \widehat {KBE}\) (hai góc nt cùng chắn cung )

\(\widehat {KIE} = \widehat {KIQ}\) hay \(IK\) là phân giác của \(\widehat {EIQ}\) (đpcm)

Gọi số ngày Nga phải để dành để đủ tiền mua xe là x (ngày), \(\left( {x \in N*} \right)\)

Số tiền Nga để dành được sau \(x\)ngày là \(25000.x\) (đồng).

Sô tiền Nga có (cả tiền lì xì và tiền để dành) là \(1500000 + 25000.x\) (đồng)

Để đủ tiền mua xe thì số tiền Nga có phải lớn hơn hoặc bằng \[3280000\] nên ta có:

\(1500000 + 25000.x \ge 3280000\)

\(25000.x \ge 3280000 - 1500000\)

\(25000.x \ge 1780000\)

\(x \ge 71,2\)

Mà x là số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn \(x \ge 71,2\) nên x = 72.

Vậy để đủ tiền mua xe, Nga phải để dành tiền ít nhất trong \(72\)ngày.