Sau tết, bạn Nga có 1500 000 tiền lì xì. Mỗi ngày Nga để dành được 25 000 đồng. Nga muốn mua một chiếc xe đạp giá 3280 000 đồng. Hỏi Nga phải để dành ít nhất bao nhiêu ngày để đủ tiền mua xe?

a) Xét \[\left( {O\,;\,R} \right)\] có: \(\widehat {AEB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay \(\widehat {KEB} = 90^\circ \)

đường kính \(AB\) vuông góc với dây \(CD\) tại điểm \(I\)\( \Rightarrow \widehat {KIB} = 90^\circ \)

Xét \(\Delta KEB\) vuông tại \(E\) có cạnh huyền \(KB\) suy ra \(K,E,B\) thuộc đường tròn đường kính \(KB\) (1)

Xét \(\Delta KIB\) vuông tại \(I\) có cạnh huyền \(KB\) suy ra \(K,I,B\) thuộc đường tròn đường kính \(KB\) (2)

Hay bốn điểm \(K,E,B,I\) cùng thuộc một đường tròn.

b) Xét \(\Delta AKI\) và \(\Delta ABE\), ta có:

Góc A chung

\(\widehat {{\rm{AIK}}}{\rm{ = }}\widehat {{\rm{AEB}}}{\rm{ = 90^\circ }}\)

Do đó: tam giác AKI đồng dạng với tam giác ABE (góc – góc)

\(\frac{{{\rm{AK}}}}{{{\rm{AB}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{AI}}}}{{{\rm{AE}}}}\)

\({\rm{AK}}{\rm{.AE = AI}}{\rm{.AB}}\) (đpcm)

c) Xét \[\Delta APB\] có: \[PI \bot AB\left( {I \in AB} \right)\]; \[AE \bot PB\left( {E \in PB} \right)\]; \[PI \cap AE \equiv \left\{ K \right\}\]

K là trọng tâm của \[\Delta APB\]

\(PQ \bot AP\left( {Q \in AP} \right)\)

\(\widehat {AQB} = 90^\circ \) hay \(\widehat {AQK} = 90^\circ \)

Đường kính \(AB\) vuông góc với dây \(CD\) tại điểm \(I\)

\(\widehat {AIK} = 90^\circ \)

Chứng minh được bốn điểm \(A,I,Q,K\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AK\) suy ra \(AIKQ\) là tứ giác nội tiếp

\(\widehat {QAK} = \widehat {QIK}\) (hai góc nt cùng chắn )

Ta có: \(KEBI\) là tứ giác nội tiếp (cmt)

\(\widehat {KIE} = \widehat {KBE}\) (hai góc nt cùng chắn )

Lại có: \(\widehat {QAK} = \widehat {KBE}\) (hai góc nt cùng chắn cung )

\(\widehat {KIE} = \widehat {KIQ}\) hay \(IK\) là phân giác của \(\widehat {EIQ}\) (đpcm)

Lập đenta, chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt

Theo định lý Viète ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{ - 5}}{3}\\{x_1}{x_2} = - 2\end{array} \right.\]

Theo đề bài ta có :

\[\frac{{2{x_2}^2}}{{{x_1} + {x_2}}} + 2{x_1} = \frac{{2{x_2}^2 + 2{x_1}^2 + 2{x_1}{x_2}}}{{{x_1} + {x_2}}} = \frac{{2\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right] + 2{x_1}{x_2}}}{{{x_1} + {x_2}}}\]

\[ = \,\,\frac{{ - 86}}{{15}}\]