Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau 4 giờ 48 phút bể đầy. Nếu vòi I chảy trong 4 giờ, vòi II chảy trong 3 giờ thì cả hai vòi chảy được \(\frac{3}{4}\) bể. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể.

Ta có \[4\frac{4}{5}\] giờ = \[\frac{{24}}{5}\] giờ.

Gọi \[x\] (giờ) là thời gian để vòi thứ nhất chảy đầy bể (\[x > 0\]) ; \[y\] (giờ) là thời gian để vòi thứ hai chảy đầy bể (\[y > 0\]).

Trong một giờ vòi thứ nhất chảy được \[\frac{1}{x}\] bể, vòi thứ hai chảy được \[\frac{1}{y}\] bể.

Hai vòi cùng chảy đầy bể sau \[\frac{{24}}{5}\] giờ nên \[1\] giờ cả hai cùng chảy được \[\frac{5}{{24}}\] bể. Ta có phương trình :

                                       \[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{{24}}\]                 (1)

Trong \[9\] giờ, vòi thứ nhất chảy được \[\frac{9}{x}\] bể và \[\frac{6}{5}\] giờ, hai vòi cùng chảy được \[\frac{6}{5}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right)\] bể nên ta có phương trình : \[\frac{9}{x} + \frac{6}{5}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) = 1\] (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :  \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{{24}}\\\frac{9}{x} + \frac{6}{5}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) = 1\end{array} \right.\]

Đặt \[u = \frac{1}{x},\,y = \frac{1}{y}\]. Ta có hệ :

\[\left\{ \begin{array}{l}u + v = \frac{5}{{24}}\\9u + \frac{6}{5}\left( {u + v} \right) = 1\end{array} \right.\]    

\[\left\{ \begin{array}{l}u + v = \frac{5}{{24}}\\51u + 6v = 5\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}u = \frac{1}{{12}}\\v = \frac{1}{8}\end{array} \right.\] 

\[\left\{ \begin{array}{l}x = 12\\y = 8\end{array} \right.\]

Vậy nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi thứ hai thì sau 8 giờ sẽ đầy bể.

Ta có : \[1\] giờ \[20\] phút = \[80\] phút.

Gọi \[x\] (phút) là thời gian vòi thứ nhất chảy riêng một mình đầy bể và \[y\] (phút) là thời gian vòi thứ hai chảy riêng một mình đầy bể \[\left( {x,\,y > \,0} \right)\].

Trong một phút vòi thứ nhất chảy được \[\frac{1}{x}\] bể và vòi thứ hai chảy được \[\frac{1}{y}\] bể.

Ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{80}}\\\frac{{10}}{x} + \frac{{12}}{y} = \frac{2}{{15}}\end{array} \right.\]

Giải hệ phương trình ta được \[x = 120,{\rm{ }}y = 240\].

Vậy vòi thứ nhất chảy đầy bể trong \[120\] phút (\[2\] giờ) và vòi thứ hai chả đầy bể trong \[240\] phút (\[4\] giờ).