Hai vật chuyển động đều trên một đường tròn đường kính \[20cm\], xuất phát cùng một lúc, từ cùng một điểm. Nếu chuyển động cùng chiều thì cứ \[20\] giây chúng lại gặp nhau. Nếu chuyển động ngược chiều thì cứ \[4\] giây chúng lại gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi vật.

Gọi \(x(\,km/h\,)\) là vận tốc ô tô lúc đầu \((\,x > 10\,)\), và \(y\) (h) là thời gian ô tô dự định đi từ \(A\) đến \(B\) \((\,y > 0\,)\)

Theo hài ra ta có hệ phương trình

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(\,x + 10\,)(\,y - 3\,) = xy}\\{(\,x - 10\,)(\,y + 5\,) = xy}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 3x + 10y = 30}\\{5x - 10y = 50}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 40}\\{y = 15}\end{array}} \right.\end{array}\)

Vậy vận tốc xe lúc đầu là \(40km/h\). Quãng đường AB dài \(40 \cdot 15 = 600km\).

Gọi \[x\] (km) là độ dài quãng đường \[AB\] và \[y\] (giờ) là thời gian dự định đi để đến \[B\] đúng lúc \[12\] giờ trưa \[\left( {x,\,y > 0} \right)\].

Thời gian ô tô đến \[B\] khi chạy với vận tốc \[35\,\,km/h\] là \[y + 2\] nên ta có : \[x = 35\left( {y + 2} \right)\]     (1)

Thời gian ô tô đến \[B\] khi chạy với vận tốc \[50\,\,km/h\] là \[y - 1\] nên \[x = 50\left( {y - 1} \right)\]                (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 35\left( {y + 2} \right)\\x = 50\left( {y - 1} \right)\end{array} \right.\]

Giải hệ phương trình ta có nghiệm \[\left( {x,\,y} \right) = \left( {350;\,8} \right)\].

Vậy \[AB = 350km\], ô tô xuất phát từ \[A\] lúc \[4\] giờ sáng.