Trong một siêu thị tiện lợi có ba khách hàng Phúc, Bình, An đến quầy thu ngân cùng một lúc. Nhân viên thu ngân sẽ chọn ngẫu nhiên lần lượt từng khách hàng để thanh toán.

(a) Mô tả không gian mẫu của phép thử. Không gian mẫu có bao nhiêu phần tử?

(b) Tính xác suất của biến cố \[A\]: “Phúc được thanh toán cuối cùng”.

a) Ta có \(D\) là chân đường vuông góc kể từ \(A\) đến \(BC\) nên \(AD \bot \;BC\) hay $\widehat{ADB}={90}^{°}$.

Tương tự ta có $\widehat{AEB}={90}^{°}$

\(\Delta BDA\) và \(\Delta BEA\) là các tam giác vuông với cạnh huyền là \(AB\) nên chúng nội tiếp đường tròn đường kính \(AB\)

Hay các điểm \(A\), \(B\), \(D\), \(E\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AB\).

Vậy tứ giác \(ABDE\) nội tiếp đường tròn đường kính \(AB\).

b) Có tứ giác \(ABDE\) nội tiếp nên $\widehat{ABD}+\widehat{AED}={180}^{°}$

Mà $\widehat{KED}+\widehat{AED}={180}^{°}$ (kề bù) nên \(\widehat {KED} = \widehat {ABD}\)

Lại có \(\widehat {ABC} = \widehat {AKC}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(AC\) của \(\left( O \right)\))

Suy ra \(\widehat {KED} = \widehat {AKC}\) mà đây là 2 góc so le trong nên \(DE\,\,{\rm{//}}\,\,KC\)

c) Có tứ giác \(ABDE\) nội tiếp nên \(\widehat {IDE} = \widehat {OAB}\) (cùng bù với \(\widehat {BDE}\))

\(\Delta OBC\) cân tại \(O\) nên đường trung tuyến \(OI\) đồng thời là đường cao, suy ra $\widehat{OIB}={90}^{°}$.

Có \(OIB\) và \(OEB\) là các tam giác vuông có cạnh huyền \(OB\) nên chúng nội tiếp đường tròn đường kính \(OB\), từ đó suy ra tứ giác \(OBEI\) nội tiếp nên \(\widehat {DIE} = \widehat {AOB}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn )

Xét \(\Delta IDE\) và \(\Delta OAB\) có \(\widehat {IDE} = \widehat {OAB}\); \(\widehat {DIE} = \widehat {AOB}\) nên (g.g)

Mà \(\Delta OAB\) cân tại \(O\) nên \(\Delta IDE\) cân tại \(I\).

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) có:

\(\tan \widehat {BAC} = \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{9}{{14}}\) nên \(\widehat {BAC} \approx 33^\circ \)

Xét tam giác \(ABD\) vuông tại \(B\) có:

\(BD = AB\,\,.\,\,\tan \widehat {BAD} = 14\,\,.\,\,\tan 71^\circ \,\,\left( {\rm{m}} \right)\)

Quãng đường xe máy đi từ \[C\] đến \[D\] là:

\(CD = BD - BC = 14\,\,.\,\,\tan 71^\circ - 9\,\,\left( {\rm{m}} \right)\)

Đổi \(22\,\,{\rm{km/h}} = \left( {22\,\,.\,\,1000:3600} \right)\,\,{\rm{m/s}} = \frac{{55}}{9}\,\,{\rm{m/s}}\).

Thời gian đi từ \[C\] đến \[D\] khoảng: \(\left( {14\,\,.\,\,\tan 71^\circ - 9} \right):\frac{{55}}{9} \approx 5\,\,\left( {\rm{s}} \right)\)