Cho \({\rm{a}} > {\rm{b}}\) và \({\rm{m}} > {\rm{n}}\). Chứng minh rằng \({\rm{a}} + {\rm{m}} > {\rm{b}} + {\rm{n}}\).

Xét vế trái :\(T = \frac{{a + b}}{c} + \frac{{b + c}}{a} + \frac{{c + a}}{b}\)\( = \frac{a}{c} + \frac{b}{c} + \frac{b}{a} + \frac{c}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{b}\)\( = \left( {\frac{{\rm{a}}}{{\rm{c}}} + \frac{{\rm{c}}}{{\rm{a}}}} \right) + \left( {\frac{{\rm{b}}}{{\rm{c}}} + \frac{{\rm{c}}}{{\rm{b}}}} \right) + \left( {\frac{{\rm{b}}}{{\rm{a}}} + \frac{{\rm{a}}}{{\rm{b}}}} \right).\)

\({\rm{T}} \ge 2 + 2 + 2\) (Áp dụng kết quả ở ví dụ 2) \( \Leftrightarrow {\rm{T}} \ge 6.{\rm{ }}\) (dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \({\rm{a}} = {\rm{b}} = {\rm{c )}}{\rm{. }}\)

Xét hiệu \(\left( {{{\rm{a}}^2} + {{\rm{b}}^2}} \right) - 2{\rm{ab}} = {({\rm{a}} - {\rm{b}})^2} \ge 0\). Vậy \({a^2} + {b^2} \ge 2ab\) (dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a = b\) ).