Chứng minh các bất đẳng thức:
a) $ab \le \frac{{{{(a + b)}^2}}}{4}$ b) ${a^2} + {b^2} + {c^2} + 3 \ge 2(a + b + c)$.

Câu hỏi trong đề: 26 bài tập Toán 9 Cánh diều Bài 1. Bất đẳng thức có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) $ab \le \frac{{{{(a + b)}^2}}}{4} \Leftrightarrow 4ab \le {a^2} + 2ab + {b^2}$.$ \Leftrightarrow {a^2} - 2ab + {b^2} \ge 0 \Leftrightarrow {(a - b)^2} \ge 0$

b) Ta có $\quad {a^2} + 1 \ge 2a;{b^2} + 1 \ge 2b;{c^2} + 1 \ge 2c$. Do đó $\quad {a^2} + {b^2} + {c^2} + 3 \ge 2(a + b + c)$ (dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ${\rm{a}} = {\rm{b}} = {\rm{c}} = 1$ ).

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \[C = - {x^2} + 5x\]

Lời giải

Ta có: \[C = - {x^2} + 5x = - ({x^2} - 5x)\]

\[\begin{array}{l} = - \left( {{x^2} - 2.\frac{5}{2}x + \frac{{25}}{4} - \frac{{25}}{4}} \right)\\ = - \left[ {{{\left( {x - \frac{5}{2}} \right)}^2} - \frac{{25}}{4}} \right]\\ = - {\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{{25}}{4} \le \frac{{25}}{4}\end{array}\]

Vậy max \[C = \frac{{24}}{5}\] khi và chỉ khi \[x = \frac{5}{2}\].

Câu 2

Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:

a) $C = - {x^2} + 5x$ b) $D = 2(1 - x)(2x - 1)$.

Lời giải

a) $C = - {x^2} + 5x = - \left( {{x^2} - 5x} \right)$ $ = - \left( {{x^2} - 2 \cdot \frac{5}{2}x + \frac{{25}}{4} - \frac{{25}}{4}} \right)$$ = - \left[ {{{\left( {x - \frac{5}{2}} \right)}^2} - \frac{{25}}{4}} \right] = - {\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{{25}}{4} \le \frac{{25}}{4}$

Do đó $\max {\rm{C}} = \frac{{25}}{4}$ khi và chỉ khi $x = \frac{5}{2}$.

b) $D = (2 - 2x)(2x - 1) \le \frac{{{{[(2 - 2x) + (2x - 1)]}^2}}}{4}$$ \Leftrightarrow {\rm{D}} \le \frac{1}{4}{\rm{. }}$$

Do đó $\max D = \frac{1}{4}$ khi và chỉ khi $2 - 2x = 2x - 1 \Leftrightarrow x = \frac{3}{4}$.

Câu 3