Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:

\(\left( {\frac{{2\sqrt {xy} }}{{x - y}} + \frac{{\sqrt x  - \sqrt y }}{{2\left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right)}}} \right).\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + \sqrt y }} + \frac{{\sqrt y }}{{\sqrt y  - \sqrt x }}\) với \(x > 0,y > 0,x \ne y.\)

Khai triển và rút gọn biểu thức (với \(x \ge 0;y \ge 0\))

a). \(\left( {\sqrt {2x} - 1} \right)\left( {2x + \sqrt {2x} + 1} \right)\).

b). \(\left( {\sqrt x + 2\sqrt y } \right)\left( {x - 2\sqrt {xy} + 4y} \right)\).

c). \(\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {2\sqrt x - \sqrt y } \right)\)

Đưa thừa số vào trong dấu căn:

a). \[x\sqrt {13} \] với \[x \ge 0\].                                           b). \[x\sqrt 2 \] với \[x < 0\].                                           c). \[x\sqrt { - \frac{{11}}{x}} \] với \[x < 0\].

Rút gọn biểu thức:

a) \(A = \frac{1}{{7 + 4\sqrt 3 }} + \frac{1}{{7 - 4\sqrt 3 }}\);                         b) \(B = \frac{{15}}{{\sqrt 6  + 1}} + \frac{4}{{\sqrt 6  - 2}} - \frac{{12}}{{3 - \sqrt 6 }} - \sqrt 6 \).

Xét biểu thức: \[A = \frac{{{a^2} + \sqrt a }}{{a - \sqrt a  + 1}} - \frac{{2a + \sqrt a }}{{\sqrt a }} + 1\].

a) Rút gọn \(A\);                                        b) Biết \[{\rm{ a}} \ge 1\], hãy so sánh \(A\) và \[\left| A \right|\];

c)Tìm \(a\) để \(A = 2\);                            d)Tìm giá trị nhỏ nhất của \(A\).

Cho biểu thức: \(B = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \left( {1 + \frac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}} \right):\frac{b}{{a - \sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\) với \(a > b > 0.\)

a) Rút gọn B;

b) Tính B nếu \(\frac{a}{b} = \frac{3}{2}\);

c) Tìm điều kiện của \(a,b\) để \(B < 1\).

Chứng minh đẳng thức:

a). \[\frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a  - \sqrt b }} - \frac{{\sqrt b }}{{\sqrt a  + \sqrt b }} - \frac{{2b}}{{a - b}} = 1{\rm{ (a}} \ge {\rm{0}}{\rm{,b}} \ge {\rm{0}}{\rm{,a}} \ne {\rm{0);}}\]

b). \[\frac{{a\sqrt b  + b}}{{a - b}}\sqrt {\frac{{ab + {b^2} - 2\sqrt {a{b^2}} }}{{a\left( {a + 2\sqrt b } \right) + b}}} \left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right) = b{\rm{  }}\left( {a > b > 0} \right)\]