Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:

\(\left( {\frac{{2\sqrt {xy} }}{{x - y}} + \frac{{\sqrt x - \sqrt y }}{{2\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}}} \right).\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + \sqrt y }} + \frac{{\sqrt y }}{{\sqrt y - \sqrt x }}\) với \(x > 0,y > 0,x \ne y.\)

Câu hỏi trong đề: 19 bài tập Toán 9 Cánh diều Bài 4. Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: \[\left( {\frac{{2\sqrt {xy} }}{{x - y}} + \frac{{\sqrt x - \sqrt y }}{{2\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}}} \right).\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + \sqrt y }} + \frac{{\sqrt y }}{{\sqrt y - \sqrt x }}\]

\[\begin{array}{l} = \frac{{4\sqrt {xy} + {{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}^2}}}{{2\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}}.\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + \sqrt y }} + \frac{{\sqrt y }}{{\sqrt y - \sqrt x }}\\ = \frac{{{{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}^2}}}{{2\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}}.\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + \sqrt y }} + \frac{{\sqrt y }}{{\sqrt y - \sqrt x }}\\ = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - \sqrt y }} + \frac{{\sqrt y }}{{\sqrt y - \sqrt x }} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - \sqrt y }} - \frac{{\sqrt y }}{{\sqrt x - \sqrt y }}\end{array}\]

\( = \frac{{\sqrt x - \sqrt y }}{{\sqrt x - \sqrt y }} = 1\) (đpcm).

Vậy biểu thức đã cho không phụ thuộc vào biến.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Khai triển và rút gọn biểu thức (với \(x \ge 0;y \ge 0\))

a). \(\left( {\sqrt {2x} - 1} \right)\left( {2x + \sqrt {2x} + 1} \right)\).

b). \(\left( {\sqrt x + 2\sqrt y } \right)\left( {x - 2\sqrt {xy} + 4y} \right)\).

c). \(\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {2\sqrt x - \sqrt y } \right)\)

Xem đáp án

Lời giải

a) \(\left( {\sqrt {2x} - 1} \right)\left( {2x + \sqrt {2x} + 1} \right) = \left( {\sqrt {2x} - 1} \right)\left( {{{\left( {\sqrt {2x} } \right)}^2} + \sqrt {2x} .1 + {1^2}} \right) = {\left( {\sqrt {2x} } \right)^3} - 1 = 2x\sqrt 2 x - 1\).

b) \(\left( {\sqrt x + 2\sqrt y } \right)\left( {x - 2\sqrt {xy} + 4y} \right) = \left( {\sqrt x + 2\sqrt y } \right)\left[ {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - \sqrt x .2\sqrt y + {{\left( {2\sqrt y } \right)}^2}} \right]\)

\( = {\left( {\sqrt x } \right)^3} + {\left( {2\sqrt y } \right)^3} = x\sqrt x + 8y\sqrt y \).

c) \(\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {2\sqrt x - \sqrt y } \right) = \sqrt x .2\sqrt x - \sqrt x .\sqrt y + \sqrt y .2\sqrt x - \sqrt y .\sqrt y \)

\( = 2x - \sqrt {xy} + 2\sqrt {xy} - y = 2x + \sqrt {xy} - y\).

Câu 2

Rút gọn biểu thức:

a) \(\frac{{\sqrt 2 - 1}}{{\sqrt 2 + 2}} - \frac{2}{{2 + \sqrt 2 }} + \frac{{\sqrt 2 + 1}}{{\sqrt 2 }}\) b) \(\frac{{2 + \sqrt 5 }}{{\sqrt 2 + \sqrt {3 + \sqrt 5 } }} + \frac{{2 - \sqrt 5 }}{{\sqrt 2 - \sqrt {3 - \sqrt 5 } }}\)

Xem đáp án

Lời giải

a). Ta có: \(\frac{{\sqrt 2 - 1}}{{\sqrt 2 + 2}} - \frac{2}{{2 + \sqrt 2 }} + \frac{{\sqrt 2 + 1}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 - 1}}{{\sqrt 2 (1 + \sqrt 2 )}} - \frac{2}{{\sqrt 2 (\sqrt 2 + 1)}} + \frac{{{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}^2}}}{{\sqrt 2 (\sqrt 2 + 1)}}\)

\( = \frac{{\sqrt 2 - 1 - 2 + 2 + 2\sqrt 2 + 1}}{{\sqrt 2 (\sqrt 2 + 1)}} = \frac{{3\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 (\sqrt 2 + 1)}} = \frac{3}{{\sqrt 2 + 1}} = \frac{{3\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}}{{2 - 1}} = 3\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\)

b). Ta có: \(\frac{{2 + \sqrt 5 }}{{\sqrt 2 + \sqrt {3 + \sqrt 5 } }} + \frac{{2 - \sqrt 5 }}{{\sqrt 2 - \sqrt {3 - \sqrt 5 } }} = \frac{{2\sqrt 2 + \sqrt {10} }}{{2 + \sqrt {6 + 2\sqrt 5 } }} + \frac{{2\sqrt 2 - \sqrt {10} }}{{2 - \sqrt {6 - 2\sqrt 5 } }}\)

\( = \frac{{2\sqrt 2 + \sqrt {10} }}{{2 + \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 + 1} \right)}^2}} }} + \frac{{2\sqrt 2 - \sqrt {10} }}{{2 - \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}} }}\) \( = \frac{{2\sqrt 2 + \sqrt {10} }}{{2 + \sqrt 5 + 1}} + \frac{{2\sqrt 2 - \sqrt {10} }}{{2 - \sqrt 5 + 1}} = \frac{{2\sqrt 2 + \sqrt {10} }}{{3 + \sqrt 5 }} + \frac{{2\sqrt 2 - \sqrt {10} }}{{3 - \sqrt 5 }}\)

\( = \frac{{\left( {2\sqrt 2 + \sqrt {10} } \right)\left( {3 - \sqrt 5 } \right) + \left( {2\sqrt 2 - \sqrt {10} } \right)\left( {3 + \sqrt 5 } \right)}}{{\left( {3 + \sqrt 5 } \right)\left( {3 - \sqrt 5 } \right)}}\)

\( = \frac{{6\sqrt 2 - 2\sqrt {10} + 3\sqrt {10} - \sqrt {50} + 6\sqrt 2 + 2\sqrt {10} - 3\sqrt {10} - \sqrt {50} }}{{9 - 5}}\)

\( = \frac{{12\sqrt 2 - 2\sqrt {50} }}{4} = \frac{{12\sqrt 2 - 10\sqrt 2 }}{4} = \frac{{2\sqrt 2 }}{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)

Câu 3