19 bài tập Toán 9 Cánh diều Bài 4. Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số có đáp án

Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

a). \[\sqrt {96.125} \].                                                                    b). \[\sqrt {{a^4}{b^5}} \].

c). \[\sqrt {{a^6}{b^{11}}} \].                                                                    d). \[\sqrt {{a^3}{{\left( {1 - a} \right)}^4}} \left( {a > 1} \right)\].

Đưa thừa số vào trong dấu căn:

a). \[x\sqrt {13} \] với \[x \ge 0\].                                           b). \[x\sqrt 2 \] với \[x < 0\].                                           c). \[x\sqrt { - \frac{{11}}{x}} \] với \[x < 0\].

Rút gọn các biểu thức

a). \(\sqrt {50} - \sqrt {32} + 3\sqrt 8 \);                                                               b). \(\sqrt {25a} + 2\sqrt {160a} - 3\sqrt {10a} \) với \(a \ge 0\).

c). \(\left( {2\sqrt 7 + \sqrt 3 } \right)\sqrt 7 - \sqrt {84} \).                       d). \(\left( {\sqrt {63} - \sqrt 8 - \sqrt 7 } \right)\sqrt 7 + 2\sqrt {14} \).

Khai triển và rút gọn biểu thức (với \(x \ge 0;y \ge 0\))

a). \(\left( {\sqrt {2x} - 1} \right)\left( {2x + \sqrt {2x} + 1} \right)\).

b). \(\left( {\sqrt x + 2\sqrt y } \right)\left( {x - 2\sqrt {xy} + 4y} \right)\).

c). \(\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {2\sqrt x - \sqrt y } \right)\)

Chứng minh rằng:

a). \(\frac{{\left( {x\sqrt y - y\sqrt x } \right)\left( {2\sqrt y + 2\sqrt x } \right)}}{{2\sqrt {xy} }} = x - y\) với \(x > 0,\,y > 0\).

b). \(x + 2\sqrt {5x - 25} = {\left( {\sqrt 5 + \sqrt {x - 5} } \right)^2}\) với \(x \ge 5\).

Trục căn ở mẫu:

a)\(\frac{9}{{\sqrt 3 }}\)                                                                     b)\(\frac{3}{{\sqrt 5  - \sqrt 2 }}\);                           

c) \(\frac{{\sqrt 2  + 1}}{{\sqrt 2  - 1}}\);                                                                    d) \(\frac{{\sqrt 5  - \sqrt 3 }}{{\sqrt 5  + \sqrt 3 }}\)

e) \(\frac{{1 - a\sqrt a }}{{1 - \sqrt a }}\);                                                                     f)\(\frac{1}{{\sqrt {18}  + \sqrt 8  - 2\sqrt 2 }}\).

g) \(\frac{{\sqrt 2 }}{{1 + \sqrt 2  - \sqrt 3 }};\)                                                                   h) \(\frac{1}{{\sqrt 3  + \sqrt 2  - \sqrt 5 }}\)

Rút gọn biểu thức:

a) \(A = \frac{1}{{7 + 4\sqrt 3 }} + \frac{1}{{7 - 4\sqrt 3 }}\);                         b) \(B = \frac{{15}}{{\sqrt 6  + 1}} + \frac{4}{{\sqrt 6  - 2}} - \frac{{12}}{{3 - \sqrt 6 }} - \sqrt 6 \).

Chứng minh đẳng thức:

a). \[\frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a  - \sqrt b }} - \frac{{\sqrt b }}{{\sqrt a  + \sqrt b }} - \frac{{2b}}{{a - b}} = 1{\rm{ (a}} \ge {\rm{0}}{\rm{,b}} \ge {\rm{0}}{\rm{,a}} \ne {\rm{0);}}\]

b). \[\frac{{a\sqrt b  + b}}{{a - b}}\sqrt {\frac{{ab + {b^2} - 2\sqrt {a{b^2}} }}{{a\left( {a + 2\sqrt b } \right) + b}}} \left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right) = b{\rm{  }}\left( {a > b > 0} \right)\]

Giải phương trình:

a) \[\frac{1}{2}\sqrt {x - 1} - \frac{3}{2}\sqrt {9x - 9} + 24\sqrt {\frac{{x - 1}}{{64}}} = - 17;\]

b)\[3x - 7\sqrt x + 4 = 0;\]

c) \[ - 5x + 7\sqrt x + 12 = 0;\]

Xét biểu thức: \[A = \frac{{{a^2} + \sqrt a }}{{a - \sqrt a  + 1}} - \frac{{2a + \sqrt a }}{{\sqrt a }} + 1\].

a) Rút gọn \(A\);                                        b) Biết \[{\rm{ a}} \ge 1\], hãy so sánh \(A\) và \[\left| A \right|\];

c)Tìm \(a\) để \(A = 2\);                            d)Tìm giá trị nhỏ nhất của \(A\).

Xét biểu thức: \[B = \left( {\frac{3}{{\sqrt {a + 1} }} + \sqrt {1 - a} } \right):\left( {\frac{3}{{\sqrt {1 - {a^2}} }} + 1} \right)\]

a). Rút gọn \(B\);

b). Tìm giá trị của \(B\) nếu \[a = \frac{{\sqrt 3 }}{{2 + \sqrt 3 }};\]

c). Với giá trị nào của a thì \[{\rm{ }}\sqrt B  > B\].

Rút gọn biểu thức:

a). \(3\sqrt {2a}  - \sqrt {18{a^3}}  + 4\sqrt {\frac{a}{2}}  - \frac{1}{4}\sqrt {128a} \) (với \(a \ge 0\))

b). \(2y\sqrt {x - y}  + x\sqrt {\frac{1}{{x - y}}}  - x\sqrt {\frac{a}{{ax - ay}}}  - \sqrt {{x^3} - {x^2}y} \) (với \(x > y > 0\))

c). \(\frac{{\sqrt a  + \sqrt b }}{{\sqrt a  - \sqrt b }} + \frac{{\sqrt a  - \sqrt b }}{{\sqrt a  + \sqrt b }}\) (với \(a \ge 0,b \ge 0,a \ne b\))

Rút gọn biểu thức:

a) \(\frac{{\sqrt 2  - 1}}{{\sqrt 2  + 2}} - \frac{2}{{2 + \sqrt 2 }} + \frac{{\sqrt 2  + 1}}{{\sqrt 2 }}\) b) \(\frac{{2 + \sqrt 5 }}{{\sqrt 2  + \sqrt {3 + \sqrt 5 } }} + \frac{{2 - \sqrt 5 }}{{\sqrt 2  - \sqrt {3 - \sqrt 5 } }}\)

Chưng minh dăng thưc:

a) \(\frac{{\sqrt {{a^2} + {x^2}}  + \sqrt {{a^2} - {x^2}} }}{{\sqrt {{a^2} + {x^2}}  - \sqrt {{a^2} - {x^2}} }} - \sqrt {\frac{{{a^4}}}{{{x^4}}} - 1}  = \frac{{{a^2}}}{{{x^2}}};\) với \(|a| > |x|\)

b) \({\left( {\frac{{5 + 2\sqrt 6 }}{{\sqrt 3  + \sqrt 2 }}} \right)^2} - {\left( {\frac{{5 - 2\sqrt 6 }}{{\sqrt 3  - \sqrt 2 }}} \right)^2} = 4\sqrt 6 \)

c) \(\left( {\frac{{x\sqrt x  - y\sqrt y }}{{\sqrt x  - \sqrt y }} + \sqrt {xy} } \right):{(\sqrt x  + \sqrt y )^2} = 1\quad (x > 0,y > 0,x \ge y)\)

Cho biểu thức: \(A = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{2 + 5\sqrt x }}{{4 - x}}\)

a) Rút gọn A nếu \(x \ge 0\) và \(x \ne 4\);

b) Tìm x để \(A = 2\).

Cho biểu thức: \(B = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \left( {1 + \frac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}} \right):\frac{b}{{a - \sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\) với \(a > b > 0.\)

a) Rút gọn B;

b) Tính B nếu \(\frac{a}{b} = \frac{3}{2}\);

c) Tìm điều kiện của \(a,b\) để \(B < 1\).

Cho biểu thức: \(C = \left( {\frac{{\sqrt x  - 2}}{{x - 1}} - \frac{{\sqrt x  + 2}}{{x + 2\sqrt x  + 1}}} \right).\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}\)

a) Rút gọn C nếu \(x \ge 0,x \ne 1;\)

b) Tìm \(x\) để C dương;

c) Tìm giá trị lớn nhất của      C.

Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:

\(\left( {\frac{{2\sqrt {xy} }}{{x - y}} + \frac{{\sqrt x  - \sqrt y }}{{2\left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right)}}} \right).\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + \sqrt y }} + \frac{{\sqrt y }}{{\sqrt y  - \sqrt x }}\) với \(x > 0,y > 0,x \ne y.\)