Cho biểu thức: \(C = \left( {\frac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}} - \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + 2\sqrt x + 1}}} \right).\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}\)

a) Rút gọn C nếu \(x \ge 0,x \ne 1;\)

b) Tìm \(x\) để C dương;

c) Tìm giá trị lớn nhất của C.

Câu hỏi trong đề: 19 bài tập Toán 9 Cánh diều Bài 4. Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) ĐK: \(x \ge 0,x \ne 1\), ta có:

\(C = \left( {\frac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}} - \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + 2\sqrt x + 1}}} \right).\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2} = \left( {\frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right) - \left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right){{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}} \right).\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}\)

\( = \frac{{x - \sqrt x - 2 - x - \sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right){{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}.\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2} = \frac{{ - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right){{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}.\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}\)

\( = \frac{{ - \sqrt x {{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x \left( {1 - x} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \sqrt x \left( {1 - \sqrt x } \right)\)

b) Ta có:\(C > 0 \Leftrightarrow \sqrt x \left( {1 - \sqrt x } \right) > 0 \Leftrightarrow 1 - \sqrt x > 0 \Leftrightarrow 1 > \sqrt x \Rightarrow 0 \le x < 1.\)

c) Với \(x \ge 0,x \ne 1\), ta có\(C = \sqrt x \left( {1 - \sqrt x } \right) = \sqrt x - x = - \left( {x - \sqrt x } \right) = - \left( {x - 2\sqrt x .\frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}} \right) = - {\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{4}\)

Vì \( - {\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} \le 0\) với mọi \(x \ge 0\) nên \( - {\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{4} \le \frac{1}{4}\) với mọi \(x \ge 0\).

Do đó: \(C \le \frac{1}{4}\) với mọi \(x \ge 0\)

GTLN của \(C = \frac{1}{4}\) khi \(\sqrt x - \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow \sqrt x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}.\)

Vậy GTLN của \(C = \frac{1}{4}\) khi \(x = \frac{1}{4}\).

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Khử mẫu các biểu thức dưới dấu căn rồi thực hiện phép tính:\[2\sqrt {\frac{3}{{20}}} + \sqrt {\frac{1}{{60}}} - \sqrt {\frac{1}{{15}}} \].

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: \[2\sqrt {\frac{3}{{20}}} = 2\frac{{\sqrt {60} }}{{20}} = 2.\frac{{2\sqrt {15} }}{{20}} = \frac{{\sqrt {15} }}{5}\]

\[\begin{array}{l}\sqrt {\frac{1}{{60}}} = \frac{{\sqrt {60} }}{{60}} = \frac{{2\sqrt {15} }}{{60}} = \frac{{\sqrt {15} }}{{30}}\\\sqrt {\frac{1}{{15}}} = \frac{{\sqrt {15} }}{{15}}\end{array}\]

Vậy \[2\sqrt {\frac{3}{{20}}} + \sqrt {\frac{1}{{60}}} - \sqrt {\frac{1}{{15}}} = \frac{{\sqrt {15} }}{5} + \frac{{\sqrt {15} }}{{30}} - \frac{{\sqrt {15} }}{{15}} = \sqrt {15} \left( {\frac{1}{5} + \frac{1}{{30}} - \frac{1}{{15}}} \right) = \frac{{\sqrt {15} }}{6}\].

Câu 2

Giải phương trình:

a) \[\frac{1}{2}\sqrt {x - 1} - \frac{3}{2}\sqrt {9x - 9} + 24\sqrt {\frac{{x - 1}}{{64}}} = - 17;\]

b)\[3x - 7\sqrt x + 4 = 0;\]

c) \[ - 5x + 7\sqrt x + 12 = 0;\]

Xem đáp án

Lời giải

a) Điều kiện: \[x \ge 1\]

\[\begin{array}{l}\frac{1}{2}\sqrt {x - 1} - \frac{3}{2}\sqrt {9x - 9} + 24\sqrt {\frac{{x - 1}}{{64}}} = - 17{\rm{ }} \Leftrightarrow x = 290.\\\frac{1}{2}\sqrt {x - 1} - \frac{3}{2}\sqrt {9(x - 1)} + 24\sqrt {\frac{{x - 1}}{{{8^2}}}} = - 17{\rm{ }}\\\frac{1}{2}\sqrt {x - 1} - \frac{9}{2}\sqrt {x - 1} + \frac{{24}}{8}\sqrt {x - 1} = - 17 \Leftrightarrow - \sqrt {x - 1} = - 17 \Leftrightarrow \sqrt {x - 1} = 17\\x - 1 = 289\\x = 290.\end{array}\]

Đối chiếu với điều kiện ta được: \[x = 290.\]

b) (Điều kiện \[x \ge 0\]

\[\begin{array}{l}3x - 7\sqrt x + 4 = 0\\3x - 3\sqrt x - 4\sqrt x + 4 = 0\\3\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right) - 4\left( {\sqrt x - 1} \right) = 0\\\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {3\sqrt x - 4} \right) = 0\end{array}\]

\[3\sqrt x - 4 = 0\] hoặc \[\sqrt x - 1 = 0\]

\[\sqrt x = \frac{4}{3}\] hoặc \[\sqrt x = 1\]

\[x = \frac{{16}}{9}\] hoặc \[x = 1\]

Đối chiếu với điều kiện ta được: \[x = \frac{{16}}{9};x = 1\].

c) Điều kiện \[x \ge 0\]

\[\begin{array}{l} - 5x + 7\sqrt x + 12 = 0\\ - 5x - 5\sqrt x + 12\sqrt x + 12 = 0\\ - 5\sqrt x .\left( {\sqrt x + 1} \right) + 12\left( {\sqrt x + 1} \right) = 0\\\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( { - 5\sqrt x + 12} \right) = 0\end{array}\]

\[\sqrt x + 1 = 0\] hoặc \[ - 5\sqrt x + 12 = 0\]

\[\sqrt x = - 1\] (vô nghiệm) hoặc \[\sqrt x = \frac{{12}}{5}\]

\[x = \frac{{144}}{{25}}.\]

Đối chiếu điều kiện ta được: \[x = \frac{{144}}{{25}}.\]

Câu 3