Cho biểu thức: \(C = \left( {\frac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}} - \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + 2\sqrt x + 1}}} \right).\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}\)

a) Rút gọn C nếu \(x \ge 0,x \ne 1;\)

b) Tìm \(x\) để C dương;

c) Tìm giá trị lớn nhất của C.

Câu hỏi trong đề: 19 bài tập Toán 9 Cánh diều Bài 4. Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) ĐK: \(x \ge 0,x \ne 1\), ta có:

\(C = \left( {\frac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}} - \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + 2\sqrt x + 1}}} \right).\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2} = \left( {\frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right) - \left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right){{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}} \right).\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}\)

\( = \frac{{x - \sqrt x - 2 - x - \sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right){{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}.\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2} = \frac{{ - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right){{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}.\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}\)

\( = \frac{{ - \sqrt x {{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x \left( {1 - x} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \sqrt x \left( {1 - \sqrt x } \right)\)

b) Ta có:\(C > 0 \Leftrightarrow \sqrt x \left( {1 - \sqrt x } \right) > 0 \Leftrightarrow 1 - \sqrt x > 0 \Leftrightarrow 1 > \sqrt x \Rightarrow 0 \le x < 1.\)

c) Với \(x \ge 0,x \ne 1\), ta có\(C = \sqrt x \left( {1 - \sqrt x } \right) = \sqrt x - x = - \left( {x - \sqrt x } \right) = - \left( {x - 2\sqrt x .\frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}} \right) = - {\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{4}\)

Vì \( - {\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} \le 0\) với mọi \(x \ge 0\) nên \( - {\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{4} \le \frac{1}{4}\) với mọi \(x \ge 0\).

Do đó: \(C \le \frac{1}{4}\) với mọi \(x \ge 0\)

GTLN của \(C = \frac{1}{4}\) khi \(\sqrt x - \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow \sqrt x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}.\)

Vậy GTLN của \(C = \frac{1}{4}\) khi \(x = \frac{1}{4}\).

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Khai triển và rút gọn biểu thức (với \(x \ge 0;y \ge 0\))

a). \(\left( {\sqrt {2x} - 1} \right)\left( {2x + \sqrt {2x} + 1} \right)\).

b). \(\left( {\sqrt x + 2\sqrt y } \right)\left( {x - 2\sqrt {xy} + 4y} \right)\).

c). \(\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {2\sqrt x - \sqrt y } \right)\)

Xem đáp án

Lời giải

a) \(\left( {\sqrt {2x} - 1} \right)\left( {2x + \sqrt {2x} + 1} \right) = \left( {\sqrt {2x} - 1} \right)\left( {{{\left( {\sqrt {2x} } \right)}^2} + \sqrt {2x} .1 + {1^2}} \right) = {\left( {\sqrt {2x} } \right)^3} - 1 = 2x\sqrt 2 x - 1\).

b) \(\left( {\sqrt x + 2\sqrt y } \right)\left( {x - 2\sqrt {xy} + 4y} \right) = \left( {\sqrt x + 2\sqrt y } \right)\left[ {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - \sqrt x .2\sqrt y + {{\left( {2\sqrt y } \right)}^2}} \right]\)

\( = {\left( {\sqrt x } \right)^3} + {\left( {2\sqrt y } \right)^3} = x\sqrt x + 8y\sqrt y \).

c) \(\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {2\sqrt x - \sqrt y } \right) = \sqrt x .2\sqrt x - \sqrt x .\sqrt y + \sqrt y .2\sqrt x - \sqrt y .\sqrt y \)

\( = 2x - \sqrt {xy} + 2\sqrt {xy} - y = 2x + \sqrt {xy} - y\).

Câu 2

Rút gọn biểu thức:

a). \(3\sqrt {2a} - \sqrt {18{a^3}} + 4\sqrt {\frac{a}{2}} - \frac{1}{4}\sqrt {128a} \) (với \(a \ge 0\))

b). \(2y\sqrt {x - y} + x\sqrt {\frac{1}{{x - y}}} - x\sqrt {\frac{a}{{ax - ay}}} - \sqrt {{x^3} - {x^2}y} \) (với \(x > y > 0\))

c). \(\frac{{\sqrt a + \sqrt b }}{{\sqrt a - \sqrt b }} + \frac{{\sqrt a - \sqrt b }}{{\sqrt a + \sqrt b }}\) (với \(a \ge 0,b \ge 0,a \ne b\))

Xem đáp án

Lời giải

a). Với \(a \ge 0\), ta có: \(3\sqrt {2a} - \sqrt {18{a^3}} + 4\sqrt {\frac{a}{2}} - \frac{1}{4}\sqrt {128a} \)

\( = 3\sqrt {2a} - 3a\sqrt {2a} + 2\sqrt {2a} - 2\sqrt {2a} \)

\( = 3\sqrt {2a} - 3a\sqrt {2a} = 3\left( {1 - a} \right)\sqrt {2a} .\)

b). Với \(x > y > 0\), ta có: \(2y\sqrt {x - y} + x\sqrt {\frac{1}{{x - y}}} - x\sqrt {\frac{a}{{ax - ay}}} - \sqrt {{x^3} - {x^2}y} \)

\( = 2y\sqrt {x - y} + x\sqrt {\frac{1}{{x - y}}} - x\sqrt {\frac{a}{{a\left( {x - y} \right)}}} - \sqrt {{x^2}\left( {x - y} \right)} \)

\( = 2y\sqrt {x - y} - \left| x \right|\sqrt {x - y} + x\sqrt {\frac{1}{{x - y}}} - x\sqrt {\frac{1}{{x - y}}} \)

\( = \sqrt {x - y} \left( {2y - x} \right)\) (do \(x > 0\)).

c). Với \(a \ge 0,b \ge 0,a \ne b\), ta có:
\(\frac{{\sqrt a + \sqrt b }}{{\sqrt a - \sqrt b }} + \frac{{\sqrt a - \sqrt b }}{{\sqrt a + \sqrt b }} = \frac{{{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}}\)

\( = \frac{{a + 2\sqrt {ab} + b + a - 2\sqrt {ab} + b}}{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}} = \frac{{2a + 2b}}{{a - b}}\).

Câu 3