Xét biểu thức: \[A = \frac{{{a^2} + \sqrt a }}{{a - \sqrt a + 1}} - \frac{{2a + \sqrt a }}{{\sqrt a }} + 1\].

a) Rút gọn \(A\); b) Biết \[{\rm{ a}} \ge 1\], hãy so sánh \(A\) và \[\left| A \right|\];

c)Tìm \(a\) để \(A = 2\); d)Tìm giá trị nhỏ nhất của \(A\).

Câu hỏi trong đề: 19 bài tập Toán 9 Cánh diều Bài 4. Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) (ĐK\[{\rm{ a}} \ge 0\])

\[\begin{array}{l}A = \frac{{{a^2} + \sqrt a }}{{a - \sqrt a + 1}} - \frac{{2a + \sqrt a }}{{\sqrt a }} + 1\\\,\,\,\,\, = \frac{{\sqrt a \left( {{{\sqrt a }^3} + 1} \right)}}{{a - \sqrt a + 1}} - \frac{{\sqrt a (2\sqrt a + 1)}}{{\sqrt a }} + 1 = \frac{{\sqrt a \left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {a - \sqrt a + 1} \right)}}{{a - \sqrt a + 1}} - (2\sqrt a + 1) + 1\\\,\,\,\,\, = a + \sqrt a - 2\sqrt a - 1 + 1 = a - \sqrt a \end{array}\]

b) Với \[{\rm{ a}} \ge 1\] hay \[\sqrt a \ge 1\] nên \[\sqrt a - 1 \ge 0\] và \[a \ge 1\], suy ra \[a \ge 0\]

Suy ra \[A = a - \sqrt a = \sqrt a \left( {\sqrt a - 1} \right) \ge 0\]

Khi đó \[A \ge 0 \Rightarrow \left| A \right| = A\]

Vậy \[\left| A \right| = A\].

c) Tìm \(a\) để \(A = 2\)

\[\begin{array}{l}a - \sqrt a = 2\\a - \sqrt a - 2 = 0\\a + \sqrt a - 2\sqrt a - 2 = 0\\\sqrt a \left( {\sqrt a + 1} \right) - 2\left( {\sqrt a + 1} \right) = 0\\\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right) = 0\end{array}\]

\[\sqrt a + 1 = 0\] hoặc \[\sqrt a - 2 = 0\]

\[\sqrt a = - 1\] (vô nghiệm) hoặc \[\sqrt a = 2\].

\[a = 4\]

Đối chiếu điều kiện ta được \[a = 4\] thì \[{\rm{A = 2}}\].

d). \[A = a - \sqrt a = a - 2\sqrt a \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = {\left( {\sqrt a - \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{1}{4}\]

Vì \[{\left( {\sqrt a - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\] với mọi a.

Nên \[{\left( {\sqrt a - \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{1}{4} \ge - \frac{1}{4}\] với mọi a.

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng \[ - \frac{1}{4}\] khi và chỉ khi \[\sqrt a - \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow a = \frac{1}{4}\]

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Khử mẫu các biểu thức dưới dấu căn rồi thực hiện phép tính:\[2\sqrt {\frac{3}{{20}}} + \sqrt {\frac{1}{{60}}} - \sqrt {\frac{1}{{15}}} \].

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: \[2\sqrt {\frac{3}{{20}}} = 2\frac{{\sqrt {60} }}{{20}} = 2.\frac{{2\sqrt {15} }}{{20}} = \frac{{\sqrt {15} }}{5}\]

\[\begin{array}{l}\sqrt {\frac{1}{{60}}} = \frac{{\sqrt {60} }}{{60}} = \frac{{2\sqrt {15} }}{{60}} = \frac{{\sqrt {15} }}{{30}}\\\sqrt {\frac{1}{{15}}} = \frac{{\sqrt {15} }}{{15}}\end{array}\]

Vậy \[2\sqrt {\frac{3}{{20}}} + \sqrt {\frac{1}{{60}}} - \sqrt {\frac{1}{{15}}} = \frac{{\sqrt {15} }}{5} + \frac{{\sqrt {15} }}{{30}} - \frac{{\sqrt {15} }}{{15}} = \sqrt {15} \left( {\frac{1}{5} + \frac{1}{{30}} - \frac{1}{{15}}} \right) = \frac{{\sqrt {15} }}{6}\].

Câu 2

Khai triển và rút gọn biểu thức (với \(x \ge 0;y \ge 0\))

a). \(\left( {\sqrt {2x} - 1} \right)\left( {2x + \sqrt {2x} + 1} \right)\).

b). \(\left( {\sqrt x + 2\sqrt y } \right)\left( {x - 2\sqrt {xy} + 4y} \right)\).

c). \(\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {2\sqrt x - \sqrt y } \right)\)

Xem đáp án

Lời giải

a) \(\left( {\sqrt {2x} - 1} \right)\left( {2x + \sqrt {2x} + 1} \right) = \left( {\sqrt {2x} - 1} \right)\left( {{{\left( {\sqrt {2x} } \right)}^2} + \sqrt {2x} .1 + {1^2}} \right) = {\left( {\sqrt {2x} } \right)^3} - 1 = 2x\sqrt 2 x - 1\).

b) \(\left( {\sqrt x + 2\sqrt y } \right)\left( {x - 2\sqrt {xy} + 4y} \right) = \left( {\sqrt x + 2\sqrt y } \right)\left[ {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - \sqrt x .2\sqrt y + {{\left( {2\sqrt y } \right)}^2}} \right]\)

\( = {\left( {\sqrt x } \right)^3} + {\left( {2\sqrt y } \right)^3} = x\sqrt x + 8y\sqrt y \).

c) \(\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {2\sqrt x - \sqrt y } \right) = \sqrt x .2\sqrt x - \sqrt x .\sqrt y + \sqrt y .2\sqrt x - \sqrt y .\sqrt y \)

\( = 2x - \sqrt {xy} + 2\sqrt {xy} - y = 2x + \sqrt {xy} - y\).

Câu 3