Rút gọn biểu thức:

a). \(3\sqrt {2a}  - \sqrt {18{a^3}}  + 4\sqrt {\frac{a}{2}}  - \frac{1}{4}\sqrt {128a} \) (với \(a \ge 0\))

b). \(2y\sqrt {x - y}  + x\sqrt {\frac{1}{{x - y}}}  - x\sqrt {\frac{a}{{ax - ay}}}  - \sqrt {{x^3} - {x^2}y} \) (với \(x > y > 0\))

c). \(\frac{{\sqrt a  + \sqrt b }}{{\sqrt a  - \sqrt b }} + \frac{{\sqrt a  - \sqrt b }}{{\sqrt a  + \sqrt b }}\) (với \(a \ge 0,b \ge 0,a \ne b\))

a) \(\left( {\sqrt {2x}  - 1} \right)\left( {2x + \sqrt {2x}  + 1} \right) = \left( {\sqrt {2x}  - 1} \right)\left( {{{\left( {\sqrt {2x} } \right)}^2} + \sqrt {2x} .1 + {1^2}} \right) = {\left( {\sqrt {2x} } \right)^3} - 1 = 2x\sqrt 2 x - 1\).

b) \(\left( {\sqrt x  + 2\sqrt y } \right)\left( {x - 2\sqrt {xy}  + 4y} \right) = \left( {\sqrt x  + 2\sqrt y } \right)\left[ {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - \sqrt x .2\sqrt y  + {{\left( {2\sqrt y } \right)}^2}} \right]\)

\( = {\left( {\sqrt x } \right)^3} + {\left( {2\sqrt y } \right)^3} = x\sqrt x  + 8y\sqrt y \).

c) \(\left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right)\left( {2\sqrt x  - \sqrt y } \right) = \sqrt x .2\sqrt x  - \sqrt x .\sqrt y  + \sqrt y .2\sqrt x  - \sqrt y .\sqrt y \)

\( = 2x - \sqrt {xy}  + 2\sqrt {xy}  - y = 2x + \sqrt {xy}  - y\).

a) (ĐK\[{\rm{ a}} \ge 0\])

\[\begin{array}{l}A = \frac{{{a^2} + \sqrt a }}{{a - \sqrt a  + 1}} - \frac{{2a + \sqrt a }}{{\sqrt a }} + 1\\\,\,\,\,\, = \frac{{\sqrt a \left( {{{\sqrt a }^3} + 1} \right)}}{{a - \sqrt a  + 1}} - \frac{{\sqrt a (2\sqrt a  + 1)}}{{\sqrt a }} + 1 = \frac{{\sqrt a \left( {\sqrt a  + 1} \right)\left( {a - \sqrt a  + 1} \right)}}{{a - \sqrt a  + 1}} - (2\sqrt a  + 1) + 1\\\,\,\,\,\, = a + \sqrt a  - 2\sqrt a  - 1 + 1 = a - \sqrt a \end{array}\]

b) Với \[{\rm{ a}} \ge 1\] hay \[\sqrt a  \ge 1\] nên \[\sqrt a  - 1 \ge 0\] và \[a \ge 1\], suy ra \[a \ge 0\]

Suy ra \[A = a - \sqrt a  = \sqrt a \left( {\sqrt a  - 1} \right) \ge 0\]

Khi đó \[A \ge 0 \Rightarrow \left| A \right| = A\]

Vậy \[\left| A \right| = A\].

c) Tìm \(a\) để \(A = 2\)

\[\begin{array}{l}a - \sqrt a  = 2\\a - \sqrt a  - 2 = 0\\a + \sqrt a  - 2\sqrt a  - 2 = 0\\\sqrt a \left( {\sqrt a  + 1} \right) - 2\left( {\sqrt a  + 1} \right) = 0\\\left( {\sqrt a  + 1} \right)\left( {\sqrt a  - 2} \right) = 0\end{array}\]

\[\sqrt a  + 1 = 0\] hoặc \[\sqrt a  - 2 = 0\]

\[\sqrt a  =  - 1\] (vô nghiệm) hoặc \[\sqrt a  = 2\].

\[a = 4\]

Đối chiếu điều kiện ta được \[a = 4\] thì \[{\rm{A = 2}}\].

d). \[A = a - \sqrt a  = a - 2\sqrt a \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = {\left( {\sqrt a  - \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{1}{4}\]

Vì \[{\left( {\sqrt a  - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\] với mọi a.

Nên \[{\left( {\sqrt a  - \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{1}{4} \ge  - \frac{1}{4}\] với mọi a.

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng \[ - \frac{1}{4}\] khi và chỉ khi \[\sqrt a  - \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow a = \frac{1}{4}\]