Xét biểu thức: \[B = \left( {\frac{3}{{\sqrt {a + 1} }} + \sqrt {1 - a} } \right):\left( {\frac{3}{{\sqrt {1 - {a^2}} }} + 1} \right)\]

a). Rút gọn \(B\);

b). Tìm giá trị của \(B\) nếu \[a = \frac{{\sqrt 3 }}{{2 + \sqrt 3 }};\]

c). Với giá trị nào của a thì \[{\rm{ }}\sqrt B > B\].

Câu hỏi trong đề: 19 bài tập Toán 9 Cánh diều Bài 4. Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a). Điều kiện \[ - 1 < a < 1\]

\[\begin{array}{l}B = \left( {\frac{3}{{\sqrt {a + 1} }} + \sqrt {1 - a} } \right):\left( {\frac{3}{{\sqrt {1 - {a^2}} }} + 1} \right)\\\,\,\,\, = \left( {\frac{{3 + \sqrt {1 - a} .\sqrt {a + 1} }}{{\sqrt {a + 1} }}} \right):\left( {\frac{{3 + \sqrt {1 - {a^2}} }}{{\sqrt {1 - {a^2}} }}} \right) = \frac{{3 + \sqrt {1 - {a^2}} }}{{\sqrt {a + 1} }}.\frac{{\sqrt {a + 1} .\sqrt {1 - a} }}{{3 + \sqrt {1 - {a^2}} }} = \sqrt {1 - a} \end{array}\]

b). Với \[a = \frac{{\sqrt 3 }}{{2 + \sqrt 3 }};\]Khi đó:

\[B = \sqrt {1 - a} = \sqrt {1 - \frac{{\sqrt 3 }}{{2 + \sqrt 3 }}} = \sqrt {\frac{{2 + \sqrt 3 - \sqrt 3 }}{{2 + \sqrt 3 }}} = \sqrt {\frac{{2.\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}} = \sqrt {\frac{{{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}^2}}}{{4 - 3}}} = \sqrt 3 + 1\]

c). Với \[ - 1 < a < 1\], ta có:\[{\rm{ }}\sqrt B > B\] hay \[\sqrt B \left( {1 - {\rm{ }}\sqrt B } \right) > 0\]

TH1: \[\left\{ \begin{array}{l}{\rm{ }}\sqrt B > 0\\1 - {\rm{ }}\sqrt B > 0\end{array} \right.\] nên \[\left\{ \begin{array}{l}B > 0\\{\rm{ }}\sqrt B < 1\end{array} \right.\], suy ra \[0 < B < 1\].

TH2: \[\left\{ \begin{array}{l}{\rm{ }}\sqrt B < 0\\1 - {\rm{ }}\sqrt B < 0\end{array} \right.\] (vô nghiệm).

Khi đó \[0 < \sqrt {1 - a} < 1\] hay \[0 < 1 - a < 1\] nên \[0 < a < 1.\]

Kết hớp với điều kiện \[ - 1 < a < 1\] ta được \[0 < a < 1\]

Vậy \[0 < a < 1\] thì\[{\rm{ }}\sqrt B > B\].

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Khai triển và rút gọn biểu thức (với \(x \ge 0;y \ge 0\))

a). \(\left( {\sqrt {2x} - 1} \right)\left( {2x + \sqrt {2x} + 1} \right)\).

b). \(\left( {\sqrt x + 2\sqrt y } \right)\left( {x - 2\sqrt {xy} + 4y} \right)\).

c). \(\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {2\sqrt x - \sqrt y } \right)\)

Xem đáp án

Lời giải

a) \(\left( {\sqrt {2x} - 1} \right)\left( {2x + \sqrt {2x} + 1} \right) = \left( {\sqrt {2x} - 1} \right)\left( {{{\left( {\sqrt {2x} } \right)}^2} + \sqrt {2x} .1 + {1^2}} \right) = {\left( {\sqrt {2x} } \right)^3} - 1 = 2x\sqrt 2 x - 1\).

b) \(\left( {\sqrt x + 2\sqrt y } \right)\left( {x - 2\sqrt {xy} + 4y} \right) = \left( {\sqrt x + 2\sqrt y } \right)\left[ {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - \sqrt x .2\sqrt y + {{\left( {2\sqrt y } \right)}^2}} \right]\)

\( = {\left( {\sqrt x } \right)^3} + {\left( {2\sqrt y } \right)^3} = x\sqrt x + 8y\sqrt y \).

c) \(\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {2\sqrt x - \sqrt y } \right) = \sqrt x .2\sqrt x - \sqrt x .\sqrt y + \sqrt y .2\sqrt x - \sqrt y .\sqrt y \)

\( = 2x - \sqrt {xy} + 2\sqrt {xy} - y = 2x + \sqrt {xy} - y\).

Câu 2

Rút gọn biểu thức:

a). \(3\sqrt {2a} - \sqrt {18{a^3}} + 4\sqrt {\frac{a}{2}} - \frac{1}{4}\sqrt {128a} \) (với \(a \ge 0\))

b). \(2y\sqrt {x - y} + x\sqrt {\frac{1}{{x - y}}} - x\sqrt {\frac{a}{{ax - ay}}} - \sqrt {{x^3} - {x^2}y} \) (với \(x > y > 0\))

c). \(\frac{{\sqrt a + \sqrt b }}{{\sqrt a - \sqrt b }} + \frac{{\sqrt a - \sqrt b }}{{\sqrt a + \sqrt b }}\) (với \(a \ge 0,b \ge 0,a \ne b\))

Xem đáp án

Lời giải

a). Với \(a \ge 0\), ta có: \(3\sqrt {2a} - \sqrt {18{a^3}} + 4\sqrt {\frac{a}{2}} - \frac{1}{4}\sqrt {128a} \)

\( = 3\sqrt {2a} - 3a\sqrt {2a} + 2\sqrt {2a} - 2\sqrt {2a} \)

\( = 3\sqrt {2a} - 3a\sqrt {2a} = 3\left( {1 - a} \right)\sqrt {2a} .\)

b). Với \(x > y > 0\), ta có: \(2y\sqrt {x - y} + x\sqrt {\frac{1}{{x - y}}} - x\sqrt {\frac{a}{{ax - ay}}} - \sqrt {{x^3} - {x^2}y} \)

\( = 2y\sqrt {x - y} + x\sqrt {\frac{1}{{x - y}}} - x\sqrt {\frac{a}{{a\left( {x - y} \right)}}} - \sqrt {{x^2}\left( {x - y} \right)} \)

\( = 2y\sqrt {x - y} - \left| x \right|\sqrt {x - y} + x\sqrt {\frac{1}{{x - y}}} - x\sqrt {\frac{1}{{x - y}}} \)

\( = \sqrt {x - y} \left( {2y - x} \right)\) (do \(x > 0\)).

c). Với \(a \ge 0,b \ge 0,a \ne b\), ta có:
\(\frac{{\sqrt a + \sqrt b }}{{\sqrt a - \sqrt b }} + \frac{{\sqrt a - \sqrt b }}{{\sqrt a + \sqrt b }} = \frac{{{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}}\)

\( = \frac{{a + 2\sqrt {ab} + b + a - 2\sqrt {ab} + b}}{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}} = \frac{{2a + 2b}}{{a - b}}\).

Câu 3