Chứng minh rằng:

a). \(\frac{{\left( {x\sqrt y - y\sqrt x } \right)\left( {2\sqrt y + 2\sqrt x } \right)}}{{2\sqrt {xy} }} = x - y\) với \(x > 0,\,y > 0\).

b). \(x + 2\sqrt {5x - 25} = {\left( {\sqrt 5 + \sqrt {x - 5} } \right)^2}\) với \(x \ge 5\).

Ta có: \[2\sqrt {\frac{3}{{20}}}  = 2\frac{{\sqrt {60} }}{{20}} = 2.\frac{{2\sqrt {15} }}{{20}} = \frac{{\sqrt {15} }}{5}\]

\[\begin{array}{l}\sqrt {\frac{1}{{60}}}  = \frac{{\sqrt {60} }}{{60}} = \frac{{2\sqrt {15} }}{{60}} = \frac{{\sqrt {15} }}{{30}}\\\sqrt {\frac{1}{{15}}}  = \frac{{\sqrt {15} }}{{15}}\end{array}\]

Vậy \[2\sqrt {\frac{3}{{20}}}  + \sqrt {\frac{1}{{60}}}  - \sqrt {\frac{1}{{15}}}  = \frac{{\sqrt {15} }}{5} + \frac{{\sqrt {15} }}{{30}} - \frac{{\sqrt {15} }}{{15}} = \sqrt {15} \left( {\frac{1}{5} + \frac{1}{{30}} - \frac{1}{{15}}} \right) = \frac{{\sqrt {15} }}{6}\].

a) Điều kiện: \[x \ge 1\]

\[\begin{array}{l}\frac{1}{2}\sqrt {x - 1}  - \frac{3}{2}\sqrt {9x - 9}  + 24\sqrt {\frac{{x - 1}}{{64}}}  =  - 17{\rm{ }} \Leftrightarrow x = 290.\\\frac{1}{2}\sqrt {x - 1}  - \frac{3}{2}\sqrt {9(x - 1)}  + 24\sqrt {\frac{{x - 1}}{{{8^2}}}}  =  - 17{\rm{ }}\\\frac{1}{2}\sqrt {x - 1}  - \frac{9}{2}\sqrt {x - 1}  + \frac{{24}}{8}\sqrt {x - 1}  =  - 17 \Leftrightarrow  - \sqrt {x - 1}  =  - 17 \Leftrightarrow \sqrt {x - 1}  = 17\\x - 1 = 289\\x = 290.\end{array}\]

Đối chiếu với điều kiện ta được: \[x = 290.\]

b) (Điều kiện \[x \ge 0\]

\[\begin{array}{l}3x - 7\sqrt x  + 4 = 0\\3x - 3\sqrt x  - 4\sqrt x  + 4 = 0\\3\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right) - 4\left( {\sqrt x  - 1} \right) = 0\\\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {3\sqrt x  - 4} \right) = 0\end{array}\]

\[3\sqrt x  - 4 = 0\] hoặc \[\sqrt x  - 1 = 0\]

\[\sqrt x  = \frac{4}{3}\] hoặc \[\sqrt x  = 1\]

\[x = \frac{{16}}{9}\] hoặc \[x = 1\]

Đối chiếu với điều kiện ta được: \[x = \frac{{16}}{9};x = 1\].

c) Điều kiện \[x \ge 0\]

\[\begin{array}{l} - 5x + 7\sqrt x  + 12 = 0\\ - 5x - 5\sqrt x  + 12\sqrt x  + 12 = 0\\ - 5\sqrt x .\left( {\sqrt x  + 1} \right) + 12\left( {\sqrt x  + 1} \right) = 0\\\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( { - 5\sqrt x  + 12} \right) = 0\end{array}\]

\[\sqrt x  + 1 = 0\] hoặc \[ - 5\sqrt x  + 12 = 0\]

\[\sqrt x  =  - 1\] (vô nghiệm) hoặc \[\sqrt x  = \frac{{12}}{5}\]

\[x = \frac{{144}}{{25}}.\]

Đối chiếu điều kiện ta được: \[x = \frac{{144}}{{25}}.\]