Cho hình thang \[ABCD\,\,\left( {AB\,{\rm{//}}\,CD} \right),\,\,\widehat C = 36^\circ \,;\,\,\widehat D = 50^\circ \]. Biết \(AB = 4\;{\rm{cm}},AD = 6\;{\rm{cm}}\). Tính chu vi hình thang.

a) Xét \[\Delta AMB\] vuông tại \[B\]có: O10-2024-GV154.\[AM = \sqrt {B{A^2} - B{M^2}}  = \sqrt {{5^2} + {{12}^2}}  = 13cm\]

Ta có: O10-2024-GV154 \[\sin \widehat {AMB} = \frac{{AB}}{{AM}} = \frac{{12}}{{13}}\];\[co{\mathop{\rm s}\nolimits} \widehat {AMB} = \frac{{BM}}{{AM}} = \frac{5}{{13}}\];\[\tan \widehat {AMB} = \frac{{AB}}{{BM}} = \frac{{12}}{5}\];\[\cot \widehat {AMB} = \frac{1}{{{\rm{tan}}\widehat {AMB}}} = \frac{5}{{12}}\].

b)Xét \[\Delta AMB = \Delta DNA(c.g.c)\]\[ \Rightarrow AM = DN\].

c)Ta có: O10-2024-GV154 \[\tan \widehat {BAM} = \frac{{BM}}{{AB}}\];\[\cot \widehat {AND} = \frac{{AN}}{{AD}}\].Do\[ \Rightarrow BM = AN;AB = A{\rm{D}}\]

\[ \Rightarrow \tan \widehat {BAM} = \cot \widehat {AND}\] nên trong \[\Delta AKN\] có: O10-2024-GV154.\[\widehat {BAM}\] và\[\widehat {AND}\]phụ nhau.Suy ra \[\widehat {AKN} = {90^0}\].Vậy\[{\rm{AM}} \bot {\rm{DN}}\].

Vẽ đường phân giác BD của \(\Delta ABC\) (D \[ \in \] AC).

Theo tính chất đường phân giác của tam giác ta có: O10-2024-GV154 \[\frac{{AD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{BC}}\] hay \[\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{BC}}\]

\[ \Rightarrow \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AD + DC}}{{AB + BC}} \Rightarrow \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AC}}{{AB + BC}}\].

Xét \(\Delta ABD\) có \[\widehat {BAD} = 90^\circ \] \[ \Rightarrow \tan \widehat {ABD} = \frac{{AD}}{{AB}}\]

\[\tan \frac{{\widehat {ABC}}}{2} = \frac{{AC}}{{AB + BC}}\]

Vậy \[\tan \frac{{\widehat {ABC}}}{2} = \frac{{AC}}{{AB + BC}}\]