Khu vườn nhà bác Mạnh có dạng hình vuông với độ dài cạnh là \(x\) (m). Trong khu vườn, bác đào một cái ao thả cá có dạng hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là \(x - 13\) (m) và \(y\) (m). Phần đất còn lại bác dùng để trồng rau. Viết đa thức tính diện tích phần đất trồng rau nhà bác Mạnh theo x và y?

a) Xét tứ giác AHMK có \(\widehat {MHA} = \widehat {HAK} = \widehat {AKM} = 90^\circ \)

Suy ra AHMK là hình chữ nhật.

b) • Xét \[\Delta ABC\] có M là trung điểm của BC và MK // AB (vì cùng vuông góc với AC).

Suy ra AK = CK.

Mà AHMK là hình chữ nhật nên MH = AK.

Từ đó suy ra: MH = CK.

• Ta có \[MH \bot AB\] và \[AC \bot AB\] nên MH // AC (hay MH // KC).

Xét tứ giác CMHK có MH = CK, MH // CK.

Do đó, tứ giác CMHK là hình bình hành.

c) Ta có H là trung điểm của AB (vì MH // AC và M là trung điểm BC).

Xét tứ giác AMBE có hai đường chéo AB và ME cắt nhau tại trung điểm H của mỗi đường nên AMBE là hình bình hành.

Suy ra AE // BM và AE = BM.

Mà M là trung điểm BC nên BM = MC.

Do đó AE // MC và AE = MC.

Tứ giác AMCE có AE = MC và AE // MC nên AMCE là hình bình hành.

• Gọi O' là giao điểm của AM và EC.

Khi đó O' là trung điểm của AM.

Mà hình chữ nhật AHMK có O là giao điểm của hai đường chéo AM và HK nên O là trung điểm của AM.

Vì cả O và O' đều là trung điểm của AM nên O trùng với O'.

Vì O nằm trên đường chéo EC của hình bình hành AMCE nên ba điểm E, O, C thẳng hàng.

Thay 2025 = x + 1 vào biểu thức M, ta có:

\(M = {x^{10}} - \left( {x + 1} \right){x^9} + \left( {x + 1} \right){x^8} - \left( {x + 1} \right){x^7}\)

\( + \ldots - \left( {x + 1} \right){x^3} + \left( {x + 1} \right){x^2} - \left( {x + 1} \right)x + 2025\)

\( = {x^{10}} - \left( {{x^{10}} + {x^9}} \right) + \left( {{x^9} + {x^8}} \right) - \left( {{x^8} + {x^7}} \right)\)

\( + \ldots - \left( {{x^4} + {x^3}} \right) + \left( {{x^3} + {x^2}} \right) - \left( {{x^2} + x} \right) + 2025\)

\( = {x^{10}} - {x^{10}} - {x^9} + {x^9} + {x^8} - {x^8} - {x^7} + \ldots - {x^4}\)

\( - {x^3} + {x^3} + {x^2} - {x^2} - x + 2025\).

\[ = - x + 2025\]

Thay x = 2024 vào biểu thức đã rút gọn:

M = −2024 + 2025 = 1.

Vậy giá trị của biểu thức M tại x = 2024 là 1.