Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi M là trung điểm của BC. Từ M kẻ MH vuông góc với AB tại H; kẻ MK vuông góc với AC tại K.

(a) Chứng minh: Tứ giác AHMK là hình chữ nhật.

(b) Chứng minh: MH = KC và tứ giác CMHK là hình bình hành

(c) Trên tia đối của tia HM lấy điểm E sao cho H là trung điểm của ME. Gọi O là giao điểm của AM và HK. Chứng minh ba điểm E, O, C thẳng hàng

a) Xét tứ giác AHMK có \(\widehat {MHA} = \widehat {HAK} = \widehat {AKM} = 90^\circ \)

Suy ra AHMK là hình chữ nhật.

b) • Xét \[\Delta ABC\] có M là trung điểm của BC và MK // AB (vì cùng vuông góc với AC).

Suy ra AK = CK.

Mà AHMK là hình chữ nhật nên MH = AK.

Từ đó suy ra: MH = CK.

• Ta có \[MH \bot AB\] và \[AC \bot AB\] nên MH // AC (hay MH // KC).

Xét tứ giác CMHK có MH = CK, MH // CK.

Do đó, tứ giác CMHK là hình bình hành.

c) Ta có H là trung điểm của AB (vì MH // AC và M là trung điểm BC).

Xét tứ giác AMBE có hai đường chéo AB và ME cắt nhau tại trung điểm H của mỗi đường nên AMBE là hình bình hành.

Suy ra AE // BM và AE = BM.

Mà M là trung điểm BC nên BM = MC.

Do đó AE // MC và AE = MC.

Tứ giác AMCE có AE = MC và AE // MC nên AMCE là hình bình hành.

• Gọi O' là giao điểm của AM và EC.

Khi đó O' là trung điểm của AM.

Mà hình chữ nhật AHMK có O là giao điểm của hai đường chéo AM và HK nên O là trung điểm của AM.

Vì cả O và O' đều là trung điểm của AM nên O trùng với O'.

Vì O nằm trên đường chéo EC của hình bình hành AMCE nên ba điểm E, O, C thẳng hàng.