Khu vườn nhà bác Nam có dạng hình chữ nhật có độ dài hai cạnh lần lượt là \(x + 10\) (m) và \(x + y\) (m). Trong khu vườn, bác đào một cái ao thả cá có dạng hình vuông với độ dài cạnh là \(x\) (m). Phần đất còn lại bác dùng để trồng rau. Viết đa thức tính diện tích phần đất trồng rau nhà bác Nam theo x và y?

a) Xét tứ giác ADME có \(\widehat {MDA} = \widehat {DAE} = \widehat {AEM} = 90^\circ \)

Suy ra ADME là hình chữ nhật.

b) • Xét \[\Delta ABC\] có M là trung điểm của BC và MD // AC (vì cùng vuông góc với AB).

Suy ra D là trung điểm của AB hay AD = DB.

Mà ADME là hình chữ nhật nên AD = ME.

Từ đó suy ra: ME = DB.

• Ta có \[ME \bot AC\] và \[AB \bot AC\] nên ME // AB (hay ME // DB).

Xét tứ giác MBDE có: ME // DB; ME = DB nên tứ giác MBDE là hình bình hành.

c) – C/m: Tứ giác ABMK là HBH

Hình chữ nhật ADME có I là giao điểm của hai đường chéo AM và DE nên I là trung điểm của DE.

Ta có ME // AB nên EK // BD (vì K nằm trên đường thẳng ME, D nằm trên AB).

Mặt khác E là trung điểm của MK nên ME = EK.

Mà ME = DB nên EK = DB.

Xét tứ giác BDEK có EK // DB và EK = DB nên BDEK là hình bình hành.

Xét hình bình hành BDEK có hai đường chéo là BK và DE.

Mà I là trung điểm của DE nên đường chéo BK phải đi qua trung điểm I.

Vậy ba điểm B, I, K thẳng hàng.

Thay 2026 = x + 1 vào biểu thức M, ta có:

\[M = {x^{10}}-\left( {x + 1} \right){x^9} + \left( {x + 1} \right){x^8}-\left( {x + 1} \right){x^7}\]

\[ + \ldots - \left( {x + 1} \right){x^3} + \left( {x + 1} \right){x^2}--\left( {x + 1} \right)x + 2026\]

\( = {x^{10}} - \left( {{x^{10}} + {x^9}} \right) + \left( {{x^9} + {x^8}} \right) - \left( {{x^8} + {x^7}} \right)\)

\( + \ldots - \left( {{x^4} + {x^3}} \right) + \left( {{x^3} + {x^2}} \right) - \left( {{x^2} + x} \right) + 2026\)

\( = {x^{10}} - {x^{10}} - {x^9} + {x^9} + {x^8} - {x^8} - {x^7} + \ldots - {x^4}\)

\( - {x^3} + {x^3} + {x^2} - {x^2} - x + 2026\)

\[ = - x + 2026.\]

Thay x = 2025 vào biểu thức đã rút gọn:

M = −2025 + 2026 = 1.

Vậy giá trị của biểu thức M tại x = 2025 là 1.