Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[G = {x^2}\; + 5{y^2} - 4xy - 8y + 24.\]

Ta có: \[G = {x^2}\; + 5{y^2} - 4xy - 8y + 24\]

\[ = \left( {{x^2}\; - {\rm{ }}4xy + 4{y^2}} \right) + \left( {{y^2}\; - {\rm{ }}8y + 16} \right) + 8\]

\[ = {\left( {x - 2y} \right)^2}\; + {\left( {y - 4} \right)^2}\; + {\rm{ }}8\]

Vì \[{\left( {x - 2y} \right)^2}\; \ge 0\,;\,\,{\left( {y - 4} \right)^2}\; \ge 0\] nên \[{\left( {x - 2y} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2}\; \ge 0\]

Suy ra \[{\left( {x - 2y} \right)^2}\; + {\left( {y - 4} \right)^2}\; + {\rm{ }}8 \ge 8.\]

Dấu “ = ” xảy ra khi \[{\left( {y--4} \right)^2} = 0\] và \[{\left( {x--2y} \right)^2} = 0\] hay \[x = 8\,;{\rm{ }}y = 4.\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của D là 8 hay \[x = 8\,;{\rm{ }}y = 4.\]