Cho tam giác \(MNP\) vuông cân tại \(P\) có cạnh \(PN = 5{\rm{\;cm}}.\) Một đường thẳng \(d\) bất kì đi qua đỉnh \(P\) và cắt cạnh \(MN\) tại 1 điểm nằm giữa \(M\) và \(N.\) Chứng minh rằng tổng bình phương các khoảng cách từ \(M\) và \(N\) đến đường thẳng \(d\) không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng \(d.\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Gọi \(MH,\,\,NK\) lần lượt là khoảng cách từ \(M,\,\,N\) đến đường thẳng \(d.\) Khi đó \(MH \bot d,\,\,NK \bot d.\)
Do \(\Delta MNP\) vuông tại \(P\) nên \(\widehat {{P_1}} + \widehat {{P_2}} = 90^\circ .\) (1)
Do \(\Delta MHP\) vuông tại \(H\) nên \(\widehat {{P_1}} + \widehat {PMH} = 90^\circ .\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {{P_2}} = \widehat {PMH}.\)
Xét \(\Delta MHP\) (vuông tại \(H)\) và \(\Delta NPK\) (vuông tại \(K)\) có:
\(MP = PN\) (do \(\Delta MNP\) cân tại \(P),\)
\(\widehat {{P_2}} = \widehat {PMH}.\)
Do đó \(\Delta MHP = \Delta NPK\) (cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra \(MH = PK\) (hai cạnh tương ứng).
Do \(\Delta NKP\) vuông tại \(K\) nên theo định lí Pythagore ta có:
\(P{N^2} = P{K^2} + N{K^2} = M{H^2} + N{K^2}\)
Mà \(PN = 5{\rm{\;cm}}\) nên \(M{H^2} + N{K^2} = {5^2} = 25\) (không thay đổi).
Vậy tổng bình phương các khoảng cách từ \(M\) và \(N\) đến đường thẳng \(d\) không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng \(d.\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Điều kiện xác định của biểu thức \(A\) là \(x + 2 \ne 0\) hay \(x \ne - 2.\)
Ta có \({x^2} - 4 = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right).\)
Do đó điều kiện xác định của biểu thức \(B\) là \(x - 2 \ne 0\) và \(x + 2 \ne 0\) hay \(x \ne 2\) và \(x \ne - 2.\)
b) Thay \(x = - 5\) (thỏa mãn điều kiện xác định) vào biểu thức \(A,\) ta được: \(A = \frac{{3 \cdot \left( { - 5} \right)}}{{ - 5 + 2}} = \frac{{ - 15}}{{ - 3}} = 5.\)
c) Với \(x \ne 2\) và \(x \ne - 2,\) ta có:
\(A + B = \frac{{3x}}{{x + 2}} + \frac{{{x^2} + 4}}{{{x^2} - 4}} - \frac{2}{{x - 2}}\)
\[ = \frac{{3x}}{{x + 2}} + \frac{{{x^2} + 4}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} - \frac{2}{{x - 2}}\]
\[ = \frac{{3x\left( {x - 2} \right) + {x^2} + 4 - 2\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}\]
\[ = \frac{{3{x^2} - 6x + {x^2} + 4 - 2x - 4}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}\]
\[ = \frac{{4{x^2} - 8x}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}\]
\[ = \frac{{4x\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}\]
\[ = \frac{{4x}}{{x + 2}}.\]
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) \({x^2} - 6xy + 9{y^2}\)
\( = {x^2} - 2 \cdot x \cdot 3y + {\left( {3y} \right)^2}\)
\( = {\left( {x - 3y} \right)^2}.\)
b) \(9\left( {x - y} \right) + {y^2}\left( {y - x} \right)\)
\( = 9\left( {x - y} \right) - {y^2}\left( {x - y} \right)\)
\( = \left( {x - y} \right)\left( {9 - {y^2}} \right)\)
\( = \left( {x - y} \right)\left( {3 - y} \right)\left( {3 + y} \right).\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. {x^2}y.\)
B. \(2xy.\)
C. \(3{x^2}y.\)
D. \(3x{y^2}.\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. \(\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right).\)
B. \(\left( {1 + x} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right).\)
C. \({\left( {x + 1} \right)^3}.\)
D. \(\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 2x + 1} \right).\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập