Cho tam giác \(MNP\) vuông cân tại \(P\) có cạnh \(PN = 5{\rm{\;cm}}.\) Một đường thẳng \(d\) bất kì đi qua đỉnh \(P\) và cắt cạnh \(MN\) tại 1 điểm nằm giữa \(M\) và \(N.\) Chứng minh rằng tổng bình phương các khoảng cách từ \(M\) và \(N\) đến đường thẳng \(d\) không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng \(d.\)

a) Điều kiện xác định của biểu thức \(A\) là \(x + 2 \ne 0\) hay \(x \ne - 2.\)

Ta có \({x^2} - 4 = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right).\)

Do đó điều kiện xác định của biểu thức \(B\) là \(x - 2 \ne 0\) và \(x + 2 \ne 0\) hay \(x \ne 2\) và \(x \ne - 2.\)

b) Thay \(x = - 5\) (thỏa mãn điều kiện xác định) vào biểu thức \(A,\) ta được: \(A = \frac{{3 \cdot \left( { - 5} \right)}}{{ - 5 + 2}} = \frac{{ - 15}}{{ - 3}} = 5.\)

c) Với \(x \ne 2\) và \(x \ne - 2,\) ta có:

\(A + B = \frac{{3x}}{{x + 2}} + \frac{{{x^2} + 4}}{{{x^2} - 4}} - \frac{2}{{x - 2}}\)

\[ = \frac{{3x}}{{x + 2}} + \frac{{{x^2} + 4}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} - \frac{2}{{x - 2}}\]

\[ = \frac{{3x\left( {x - 2} \right) + {x^2} + 4 - 2\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}\]

\[ = \frac{{3{x^2} - 6x + {x^2} + 4 - 2x - 4}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}\]

\[ = \frac{{4{x^2} - 8x}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}\]

\[ = \frac{{4x\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}\]

\[ = \frac{{4x}}{{x + 2}}.\]

a) \(\left( { - \frac{1}{3}xy} \right)\left( { - 3{x^2}y + 2xy - 9x} \right)\)

\( = - 3{x^2}y \cdot \left( { - \frac{1}{3}xy} \right) + 2xy \cdot \left( { - \frac{1}{3}xy} \right) - 9x \cdot \left( { - \frac{1}{3}xy} \right)\)

\( = {x^3}{y^2} - \frac{2}{3}{x^2}{y^2} + 3{x^2}y.\)

b) \(\left( {{x^3}{y^3} - 5{x^2}{y^5} + \frac{1}{{10}}x{y^2}} \right):\left( {x{y^2}} \right)\)

\( = {x^3}{y^3}:\left( {x{y^2}} \right) - 5{x^2}{y^5}:\left( {x{y^2}} \right) + \frac{1}{{10}}x{y^2}:\left( {x{y^2}} \right)\)

\( = {x^2}y - 5x{y^3} + \frac{1}{{10}}.\)

c) \(\left( {2x - y} \right)\left( {{x^2} - xy + 3{y^2}} \right)\)

\( = 2x\left( {{x^2} - xy + 3{y^2}} \right) - y\left( {{x^2} - xy + 3{y^2}} \right)\)

\( = 2{x^3} - 2{x^2}y + 6x{y^2} - {x^2}y + x{y^2} - 3{y^3}\)

\( = 2{x^3} + \left( { - 2{x^2}y - {x^2}y} \right) + \left( {6x{y^2} + x{y^2}} \right) - 3{y^3}\)

\( = 2{x^3} - 3{x^2}y + 7x{y^2} - 3{y^3}.\)