Điền vào chỗ trống sau: ${\left(x+1\right)}^2=x^2+\boxed{}+1$ .

Đáp án đúng là: A

Ta có: \({\left( {a + b} \right)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}\)\( = {a^3} + {b^3} + 3ab\left( {a + b} \right)\)

Mà \(a + b = 1\) nên \({a^3} + {b^3} + 3ab \cdot 1 = {1^3}\). Suy ra \({a^3} + {b^3} = 1 - 3ab.\)

Ta có: \[{\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\]  Mà \(a + b = 1\) nên \[{a^2} + 2ab + {b^2} = {1^2}\]

Suy ra \({a^2} + {b^2} = 1 - 2ab.\)

Khi đó \(M = {a^3} + {b^3} + 3ab\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + 6{a^2}{b^2}\left( {a + b} \right)\)

\( = 1 - 3ab + 3ab\left( {1 - 2ab} \right) + 6{a^2}{b^2} \cdot 1\)

\( = 1 - 3ab + 3ab - 6{a^2}{b^2} + 6{a^2}{b^2}\)\( = 1.\)