(1,5 điểm) Cho hai biểu thức: \(A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}}\)và \(B = \frac{3}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{{6\sqrt x  - 4}}{{x - 1}}\) (với \(x \ge 0;x \ne 1\))

1) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 9\).

2) Cho \(M = A + B\). Chứng minh \(M = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}\).

3) Tìm các số nguyên tố \(x\) để \(M \le \frac{1}{2}\).

1) Thay \(x = 9\) (TMĐK) vào biểu thức A, ta được:

\(A = \frac{{\sqrt 9 }}{{\sqrt 9  - 1}} = \frac{3}{{3 - 1}} = \frac{3}{2}\).

Vậy giá trị của biểu thức A tại \(x = 9\) là \(\frac{3}{2}\).

2) \(M = A + B\)

\(M = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{3}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{{6\sqrt x  - 4}}{{x - 1}}\)

\( = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{3}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{{6\sqrt x  - 4}}{{(\sqrt x  - 1)(\sqrt x  + 1)}}\)

\( = \frac{{\sqrt x (\sqrt x  + 1) + 3(\sqrt x  - 1) - 6\sqrt x  + 4}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{x + \sqrt x  + 3\sqrt x  - 3 - 6\sqrt x  + 4}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)\( = \frac{{x - 2\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)\( = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}\) (đpcm)

3) Để \(M \le \frac{1}{2}\) thì \(\frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}} \le \frac{1}{2}\)

\(\frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{1}{2} \le 0\)

\(\frac{{2\sqrt x  - 2 - \sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}} \le 0\)

\(\frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  + 1}} \le 0\)

Mà \(\sqrt x  + 1 > 0\) với mọi \(x\) thoả mãn điều kiện

Nên \(\sqrt x  - 3 \le 0 \Rightarrow \sqrt x  \le 3 \Rightarrow x \le 9\)

Mà \(x \ge 0;x \ne 1\), \(x\)là số nguyên tố nên \(x \in \left\{ {2;3;5;7} \right\}\)

Vậy \(x \in \left\{ {2;3;5;7} \right\}\) là các giá trị cần tìm.