(4.0 điểm)

Một thùng inox có dạng hình trụ với đường kính đáy là \[{\rm{30 cm}}\] và chiều cao (không tính phần nắp thùng) là \[{\rm{70 cm}}{\rm{,}}\] đang đựng đầy kem. Lấy \[\pi  \approx \,3,14.\]

a) Thùng đó chứa được bao nhiêu lít kem (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

b) Người bán dùng muỗng múc được các viên kem dạng hình cầu với đường kính \[{\rm{6 cm}}{\rm{.}}\] Biết rằng mỗi ly kem có \[3\] viên kem. Hỏi với lượng kem có trong thùng trên, người đó có thể bán được nhiều nhất bao nhiêu ly kem?

\[\Delta CMH\] vuông tại \[M\] nên \[C,M,H\] thuộc đường tròn đường kính \[CH.\]

\[\Delta CNH\] vuông tại \[N\] nên \[C,N,H\] thuộc đường tròn đường kính \[CH.\]

Suy ra bốn điểm \(C,\;M,\;H,\;N\) cùng thuộc đường tròn đường kính \[CH.\]

Vậy tứ giác \(CMHN\) nội tiếp đường tròn.

Chứng minh $\Delta NMC\backsim \Delta ABC$ và \(HP \bot MN\).

Vì tứ giác \(CMHN\) nội tiếp đường tròn nên \(\widehat {CMN} = \widehat {CHN}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $\stackrel{⏜}{CN})$

Mà \(\widehat {CHN} = \widehat {CBH}\) (cùng phụ \(\widehat {HCB}\) )

Suy ra \(\widehat {CMN} = \widehat {CBA}\,\,( = \widehat {CHN})\)

Từ đó suy ra $\Delta NMC\backsim \Delta ABC(g.g)$

Chứng minh \(HP \bot MN\)

Tam giác \(AMH\) vuông tại \(M\)có \(MI\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AH\). Suy ra \(MI = IA\)

\( \Rightarrow \widehat {MAI} = \widehat {AMI}.\) Mà \(\widehat {CMN} = \widehat {CBA},\widehat {\,CBA} + \widehat {MAI} = {90^{\rm{o}}}\)

\( \Rightarrow \widehat {IMN} = {90^{\rm{o}}}\) hay \(IM \bot MN.\) Tương tự, \(NK \bot MN.\) Do đó\(MI\,{\rm{// }}NK.\)

Vì \(MI\,{\rm{//}}\,NK \Rightarrow \frac{{MI}}{{NK}} = \frac{{MP}}{{PK}},\) mà \(MI = IH,NK = KH\)\( \Rightarrow \frac{{MP}}{{PK}} = \frac{{IH}}{{HK}} \Rightarrow HP\,{\rm{//}}\,MI\) (Thalès đảo)

Ta có \(MI \bot MN,MI\,{\rm{//}}\,HP \Rightarrow HP \bot MN\)

c) Xác định vị trí điểm \(C\) để \(M{K^2} + N{I^2}\) đạt giá trị lớn nhất.

Ta có tam giác \(MNK\) vuông tại \(N\), áp dụng định lý Pythagore ta có: \(M{K^2} = M{N^2} + N{K^2}\)

Tam giác \(MNI\) vuông tại \(M\), áp dụng định lý Pythagore ta có: \(N{I^2} = M{N^2} + M{I^2}\)

Suy ra \(M{K^2} + N{I^2} = 2M{N^2} + M{I^2} + N{K^2}\)

\(\begin{array}{l} = 2C{H^2} + \frac{{A{H^2}}}{4} + \frac{{H{B^2}}}{4} = 2AH.BH + \frac{{A{H^2} + B{H^2}}}{4}\\ = {\left( {\frac{{AH}}{2} + \frac{{BH}}{2}} \right)^2} + \frac{3}{2}AH.BH = \frac{{A{B^2}}}{4} + \frac{3}{2}AH.BH\end{array}\)\(\)

\( \le {\left( {2R} \right)^2} + \frac{3}{2}\frac{{{{\left( {AH + BH} \right)}^2}}}{4} = \frac{{5{R^2}}}{2}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(AH = BH.\) Khi đó \(C\) là điểm chính giữa cung $\stackrel{⏜}{AB}$.