(2,0 điểm)

Cho hai biểu thức: \(A = \frac{{\sqrt x  + 9}}{{\sqrt x  - 2}}\) và \(B = \frac{1}{{\sqrt x  + 2}} - \frac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x  + 6}}{{x - 4}}\) với \(x \ge 0;x \ne 4\) .

             1) Tính giá trị của biểu thức \(A\) với \(x =  - 27\sqrt[3]{{\frac{{ - 1}}{{27}}}}\).

             2) Rút gọn \(B\).

             3) Cho \(P = A:B\). Tìm \(x\) nhỏ nhất  để  \(P\) có giá trị là số nguyên.

a) Thay \(x =  - 27\sqrt[3]{{\frac{{ - 1}}{{27}}}} =  - 27 \cdot \,\,\frac{{ - 1}}{3} = 9\) (TMĐK) vào biểu thức \(A\) ta được:

\(A = \frac{{\sqrt 9  + 9}}{{\sqrt 9  - 2}} = \frac{{3 + 9}}{{3 - 2}} = 12\)

Vậy với \(x =  - 27\sqrt[3]{{\frac{{ - 1}}{{27}}}}\) thì \(A = 12\)

b) \(B = \frac{1}{{\sqrt x  + 2}} - \frac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x  + 6}}{{x - 4}}\) ; \(x \ge 0;x \ne 4\)

  \( = \frac{1}{{\sqrt x  + 2}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}} + \frac{{\sqrt x  + 6}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\)

  \( = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}} + \frac{{\sqrt x .\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} + \frac{{\sqrt x  + 6}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\)

\( = \frac{{\sqrt x  - 2 + x + 2\sqrt x  + \sqrt x  + 6}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\) \( = \frac{{x + 4\sqrt x  + 4}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\)

  \( = \frac{{{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\) \( = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 2}}\).

c) Ta có \(P = A:B\)\( = \frac{{\sqrt x  + 9}}{{\sqrt x  - 2}}:\frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 2}}\)

\( = \frac{{\sqrt x  + 9}}{{\sqrt x  - 2}} \cdot \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 2}}\)\( = \frac{{\sqrt x  + 9}}{{\sqrt x  + 2}}\)\( = 1 + \frac{7}{{\sqrt x  + 2}}\)

Vậy \[P = \frac{{\sqrt x  + 9}}{{\sqrt x  + 2}} = 1 + \frac{7}{{\sqrt x  + 2}}\] với \(x \ge 0;x \ne 4\)

Ta có \(x \ge 0\) \( \Rightarrow \) \(\sqrt x  \ge 0\)

                \( \Rightarrow \)\(\sqrt x  + 2 > 0\) ; \(7 > 0\)

                \( \Rightarrow \) \(\frac{7}{{\sqrt x  + 2}} > 0\)

                \(1 + \frac{7}{{\sqrt x  + 2}} > 1\)  hay \(P > 1\) \(\left( 1 \right)\)

Ta có: \(x \ge 0\) \( \Rightarrow \) \(\sqrt x  \ge 0\)

                \( \Rightarrow \) \(\sqrt x  + 2 \ge 2\)

                \( \Rightarrow \) \(\frac{7}{{\sqrt x  + 2}} \le \frac{7}{2}\)

                \( \Rightarrow \) \(1 + \frac{7}{{\sqrt x  + 2}} \le \frac{9}{2}\) hay \(P \le \frac{9}{2}\)  \(\left( 2 \right)\)

Từ  \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(1 < P \le \frac{9}{2}\) mà \(P \in \mathbb{Z}\) nên \(P \in \left\{ {2\,;\;3\,;\;4} \right\}\)

Kết hợp với điều kiện xác định \(x \ge 0;x \ne 4\) ta được: \(P\) nguyên thì \(x \in \left\{ {\frac{1}{9}\,;\;\frac{9}{4}\,;\;25} \right\}\)

Vậy \(x\) nhỏ nhất để  \(P\) có giá trị là số nguyên là \(x = \frac{1}{9}\).