(3,0 điểm)

Trong một kì thi tuyển sinh vào lớp 10 của một trường THPT gồm \(3\) môn thi: Toán, Ngữ văn và Tiếng Anh. Điểm của môn Toán và Tiếng Anh tính theo hệ số 2, điểm của môn Ngữ văn tính theo hệ số 1. Để trúng tuyển vào trường đó, điểm số trung bình của ba môn ít nhất bằng \(8\). Bạn Nam muốn trúng tuyển và đã đạt \(9\) điểm môn Toán, \(7\)điểm môn Ngữ văn. Hỏi bạn Nam cần được ít nhất bao nhiêu điểm ở môn Tiếng Anh?

Gọi số học sinh của trường THCS A và B lần lượt là \(x;\,\,y\) (học sinh,\(x;\,y \in {\mathbb{N}^*};\,\,x;y < 1322\))

Theo đề bài ta có phương trình:\(x + y = 1322\) (1)

Mỗi học sinh của trường THCS A quyên góp \(6\) quyển sách, mỗi học sinh của trường THCS B quyên góp \(5\) quyển sách. Tổng số sách quyên góp của trường THCS A nhiều hơn tổng số sách quyên góp của trường THCS B là 331 quyển nên ta có: \(6x - 5y = 331\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1322\\6x - 5y = 331\end{array} \right.\)

Giải hệ ta có: \(x = 631\) (thoả mãn); \(y = 691\) (thoả mãn)

Vậy trường THCS A có \(631\) học sinh; trường THCS B có \(691\) học sinh

a) Vẽ đồ thị hàm số \(y =  - \frac{1}{2}{x^2}\)

          Lập bảng:

          Đồ thị hàm số \(y =  - \frac{1}{2}{x^2}\) là một parabol đi qua 5 điểm \(\left( {0;0} \right),\,\left( {2; - 2} \right),\,\left( { - 2; - 2} \right),\,\left( {4; - 8} \right),\,\left( { - 4; - 8} \right)\)

          b) Gọi hoành độ và tung độ của điểm \(M\) lần lượt là \({x_M}\); \({y_M}\) (\({x_M}\,;\;{y_M}\, \ne 0\))

          Vì điểm \(M\) có khoảng cách đến trục tung gấp \(2\) lần khoảng cách từ \(M\) đến trục hoành nên \(\left| {{x_M}} \right| = 2\left| {{y_M}} \right|\) suy ra \({x_M} = 2{y_M}\) hoặc \({x_M} =  - 2{y_M}\)

          TH1: \({x_M} = 2{y_M}\) ta thay vào hàm số \(y =  - \frac{1}{2}{x^2}\) ta có:

          \({y_M} =  - \frac{1}{2}{x_M}^2\)

          \({x_M}^2 + {x_M} = 0\)

          \({x_M}\left( {{x_M} + 1} \right) = 0\)

          Suy ra: \({x_M} = 0\) (loại) hoặc \({x_M} =  - 1\) (tmđk)

          Khi \({x_M} =  - 1\) thì \({y_M} = \frac{{ - 1}}{2}\)

          TH2: \({x_M} =  - 2{y_M}\) ta thay vào hàm số \(y =  - \frac{1}{2}{x^2}\) ta có: \({x_M}^2 - {x_M} = 0\)

          \({x_M}\left( {{x_M} - 1} \right) = 0\)

          Suy ra: \({x_M} = 0\) (loại) hoặc \({x_M} = 1\) (tmđk)

          Khi \({x_M} = 1\) thì \({y_M} = \frac{{ - 1}}{2}\)

          Vậy có hai điểm \(M\) thuộc đồ thị khác gốc tọa độ có khoảng cách đến trục tung gấp \(2\) lần khoảng cách từ \(M\) đến trục hoành là \(\left( { - 1;\frac{{ - 1}}{2}} \right)\) và \(\left( {1;\frac{{ - 1}}{2}} \right)\).