(0,5 điểm)

Người ta xây một bể bơi có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, có thể tích \(\frac{{500}}{3}{\rm{ }}{{\rm{m}}^3}\). Đáy bể có dạng hình chữ nhật với chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công để xây bể được tính theo mét vuông (gồm đáy bể và các mặt xung quanh bể). Để chi phí nhân công thấp nhất thì cần xây bể có chiều rộng là bao nhiêu?

Gọi chiều rộng của đáy bể là \(x\) (m), điều kiện \(x > 0\).

Vì chiều dài gấp đôi chiều rộng nên chiều dài đáy bể là \(2x\)(m)

Gọi chiều cao của bể là \(h\)(m) điều kiện \(h > 0\).

Thể tích của hình hộp chữ nhật được tính bằng công thức: \(V = 2x \cdot x \cdot h = 2{x^2}h = \frac{{500}}{3}\)

Suy ra \(h = \frac{{500}}{{3 \cdot 2{x^2}}} = \frac{{250}}{{3{x^2}}}\).

Bể không có nắp nên diện tích xây dựng \(\left( S \right)\) bao gồm diện tích đáy và diện tích 4 mặt xung quanh:

• Diện tích đáy \({S_{d\'a y}} = 2x.x = 2{x^2}\)

• Diện tích xung quanh: \({S_{xq}} = 2 \cdot (2x + x) \cdot h = 6xh\)

Tổng diện tích là: \(S(x) = 2{x^2} + 6xh\)

Thay \(h = \frac{{250}}{{3{x^2}}}\) vào biểu thức trên, ta được: \(S(x) = 2{x^2} + 6x \cdot \left( {\frac{{250}}{{3{x^2}}}} \right) = 2{x^2} + \frac{{500}}{x}\)

Chứng minh bất đẳng thức AM-GM cho 3 số không âm như sau:

Ta có:

\({a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = (a + b + c)({a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca)\)
\({a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = \frac{1}{2}(a + b + c)\left[ {{{(a - b)}^2} + {{(b - c)}^2} + {{(c - a)}^2}} \right]\)

Vì \(a,b,c \ge 0\) nên \((a + b + c) \ge 0\); \({(a - b)^2} + {(b - c)^2} + {(c - a)^2} \ge 0\)

Suy ra \({a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc \ge 0\) hay \({a^3} + {b^3} + {c^3} \ge 3abc\)

Dấu  xảy ra khi \(a = b = c\)

Áp dụng cho ba số không âm

Đặt \(a = \sqrt[3]{x}\), \(b = \sqrt[3]{y}\), \(c = \sqrt[3]{z}\) (với \(x,y,z \ge 0\)), ta có:
\(x + y + z \ge 3\sqrt[3]{{xyz}}\) hay \(\frac{{x + y + z}}{3} \ge \sqrt[3]{{xyz}}\)

Dấu  xảy ra khi \(x = y = z\)

Suy ra \(S(x) = 2{x^2} + \frac{{250}}{x} + \frac{{250}}{x}\)

Để chi phí nhân công thấp nhất, ta cần tìm \(x\) sao cho \(S(x)\) đạt giá trị nhỏ nhất. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số dương \(2{x^2}\,;\;\frac{{250}}{x}\,;\;\frac{{250}}{x}\) ta có:

\(2{x^2} + \frac{{250}}{x} + \frac{{250}}{x} \ge 3\sqrt[3]{{2{x^2} \cdot \frac{{250}}{x} \cdot \frac{{250}}{x}}}\)

\(S(x) \ge 3\sqrt[3]{{2 \cdot 250 \cdot 250}} = 3\sqrt[3]{{125\,\,000}} = 3 \cdot 50 = 150\)

Dấu "=" xảy ra (diện tích nhỏ nhất) khi: \(2{x^2} = \frac{{250}}{x} \Rightarrow 2{x^3} = 250 \Rightarrow {x^3} = 125 \Rightarrow x = 5\) (TMĐK)

Vậy để chi phí nhân công thấp nhất thì cần xây bể có chiều rộng là 5 m.