(3,5 điểm)

Một tấm khăn trải bàn hình tròn có đường kính 220 cm. Người ta dùng cái khăn đó để trải lên một mặt bàn hình tròn có đường kính 140 cm. Tính diện tích phần vải rủ xuống mép bàn (lấy \(\pi  \approx 3,14\) và khi trải bàn thì tâm của miếng khăn và tâm của bàn trùng nhau).

Cho \(\Delta ABC\) có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\), \(AD\) và \(BE\) là 2 đường cao cắt nhau tại \(H\). Gọi \(G\) là điểm đối xứng của \(C\) qua \(O\), \(K\) là giao điểm của \(CG\) và \(DE\).

a) Chứng minh: 4 điểm \(C\), \(E\), \(H\), \(D\) cùng thuộc một đường tròn; 4 điểm \(B\), \(D\), \(K\), \(G\) cùng thuộc một đường tròn.

\(\Delta CEH\) vuông tại \(E\) \( \Rightarrow \)\(C\), \(E\), \(H\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(CH\)

\(\Delta CHD\) vuông tại \(D\) \( \Rightarrow \)\(C\), \(D\), \(H\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(CH\)

\( \Rightarrow \) 4 điểm \(C\), \(E\), \(H\), \(D\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(CH\)

 Có \(C \in \left( O \right)\) mà \(G\) là điểm đối xứng của \(C\) qua \(O\)\( \Rightarrow \)\(CG\) là đường kính của \(\left( O \right)\)

\( \Rightarrow \)\(\widehat {GBC} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa \(\left( O \right)\))

\( \Rightarrow \)\(\Delta GBD\) vuông tại \(B\)\( \Rightarrow \)\(B\), \(D\), \(G\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(GD\)

\(\Delta AEB\) vuông tại \(E\) \( \Rightarrow \)\(A\), \(E\), \(B\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AB\)

\(\Delta ABD\) vuông tại \(D\) \( \Rightarrow \)\(A\), \(D\), \(B\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AB\)

\( \Rightarrow \) 4 điểm \(A\), \(E\), \(B\), \(D\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AB\)

\( \Rightarrow \)Tứ giác \(ABDE\) nội tiếp \( \Rightarrow \)\(\widehat {ABD} + \widehat {AED} = 180^\circ \)

Mà \(\widehat {CED} + \widehat {AED} = 180^\circ \)\( \Rightarrow \)\(\widehat {ABD} = \widehat {CED}\)

Mà \(\widehat {ABD} = \widehat {AGC}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn  của \(\left( O \right)\))\( \Rightarrow \)\(\widehat {AGC} = \widehat {CEK}\)

Lại có \(\widehat {GAC} = 90^\circ \) (góc bội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( O \right)\))\( \Rightarrow \)\(\widehat {AGC} + \widehat {ACG} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow \)\(\widehat {CEK} + \widehat {ACG} = 90^\circ \)\( \Rightarrow \)\(\widehat {CKE} = 90^\circ \)\( \Rightarrow \)\(CG \bot DE\)

\( \Rightarrow \)\(\Delta GKD\) vuông tại \(K\)\( \Rightarrow \)\(K\), \(D\), \(G\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(GD\)

\( \Rightarrow \)4 điểm \(B\), \(D\), \(K\), \(G\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(GD\)

b) Gọi \(GH\) cắt \(AB\) tại \(I\), chứng minh \(OI \bot AB\). Cho \(\widehat {AOB} = 120^\circ \), chứng minh \(\Delta OCH\) cân.

Xét tứ giác \(AGBH\) có: \(GB\,{\rm{//}}\,AH\) (cùng \( \bot BC\)) và \(GA\,{\rm{//}}\,BH\)(cùng \( \bot AC\))

\( \Rightarrow \)Tứ giác \(AGBH\) là hình bình hành \( \Rightarrow \)\(AB\) cắt \(GH\) tại trung điểm \(I\) của mỗi đường

Xét \(\Delta OAB\) cân tại \(O\) \(\left( {OA = OB} \right)\)  mà \(OI\) là đường trung tuyến

\( \Rightarrow \) \(OI\) vừa là đường trung tuyến, đường trung trực, phân giác, đường cao của \(\Delta OAB\) cân tại \(O\)

\( \Rightarrow \)\(OI \bot AB\) và \(\widehat {IOA} = \widehat {IOB} = \frac{{\widehat {AOB}}}{2}\)