Trong phòng tư vấn định hướng thi vào lớp 10, lúc đầu có một số dãy ghế với tổng cộng 40 chỗ ngồi. Do phải sắp xếp 55 chỗ ngồi nên người ta kê thêm một dãy ghế và mỗi dãy ghế xếp thêm một chỗ ngồi. Hỏi lúc đầu có mấy dãy ghế trong phòng tư vấn đó? (Biết số dãy ghế là một số lớn hơn 5).

a) Chứng minh \(MAOB\) là tứ giác nội tiếp.

Xét \[\Delta MAO\] vuông tại \[A\] có cạnh huyền \[MO\] nên \[A\],\[M\],\[O\] thuộc đường tròn đường kính \[MO\] Xét \[\Delta MBO\]vuông tại \[B\] có cạnh huyền \[MO\] nên \[B\],\[M\] ,\[O\] thuộc đường tròn đường kính \[MO\] Do đó \[M\], \[O\], \[A\], \[B\] thuộc đường tròn đường kính \[MO\].

Vậy \(MAOB\) là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh \(OM{\rm{ // }}BC\) và \(I{M^2} = IB.ID\).

Chứng minh \(OM{\rm{ // }}BC\)

Xét \[\left( O \right)\] có \[MA\] và \[MB\] là hai tiếp tuyến cắt nhau nên: \[MA = MB\]; \[\widehat {AOM} = \widehat {BOM}\]; \[\widehat {AMO} = \widehat {BMO}\]

Xét \[\Delta OAB\] cân tại \[A\] (\[OA = OB = R\]) có \[OM\] là phân giác đồng thời là đường cao hay \[OH \bot AB\]. (3)

Xét \[\left( O \right)\]có đường kính \[AC\] nên: \[\widehat {ABC} = 90^\circ \] hay \[BC \bot AB\] (4)

Từ (3) và (4) suy ra \[OH{\rm{ // }}BC\] hay \(OM{\rm{ // }}BC\).

Chứng minh: \(I{M^2} = IB.ID\).

Theo định lý Viète, ta có:

\(S = {x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a} = 2\)

\(P = {x_1} \cdot {x_2} = \frac{c}{a} =  - 2\, \ne 0\)\( \Rightarrow {x_1} \ne 0,\,{x_2} \ne 0\).

Ta có \(\frac{m}{{{x_1} + {x_2}}} + \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} = 6\)

\(\frac{m}{{{x_1} + {x_2}}} + \frac{{x_1^2 + x_2^2}}{{{x_1}{x_2}}} = 6\)

\(\frac{m}{{{x_1} + {x_2}}} + \frac{{{{({x_1} + {x_2})}^2} - 2{x_1}{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = 6\)

\(\frac{m}{2} + \frac{{{2^2} - 2( - 2)}}{{ - 2}} = 6\)

\(\frac{m}{2} + \frac{{4 + 4}}{{ - 2}} = 6\)

\(\frac{m}{2} - 4 = 6\)

\(m = 20\)

Vậy \(m = 20\).