Cho điểm \(M\) nằm ngoài đường tròn \((O)\). Kẻ hai tiếp tuyến \(MA,MB\) với \((O)\) (\(A,B\) là các tiếp điểm). Kẻ đường kính \(AC\) của \((O)\), \(MC\) cắt \(AB\) tại \(K\). Đoạn thẳng \(MC\) cắt \((O)\) tại điểm thứ hai là \(D\). Gọi \(I,H\) lần lượt là giao điểm của \(MO\) với \(BD,AB\).
a) Chứng minh \(MAOB\) là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh \(OM{\rm{ // }}BC\) và \(I{M^2} = IB.ID\).
c) Gọi \(L\) là giao điểm của \(IK\) và \(HC\). Chứng minh \(IM = IH\) và \(M,B,L\) thẳng hàng.
Cho điểm \(M\) nằm ngoài đường tròn \((O)\). Kẻ hai tiếp tuyến \(MA,MB\) với \((O)\) (\(A,B\) là các tiếp điểm). Kẻ đường kính \(AC\) của \((O)\), \(MC\) cắt \(AB\) tại \(K\). Đoạn thẳng \(MC\) cắt \((O)\) tại điểm thứ hai là \(D\). Gọi \(I,H\) lần lượt là giao điểm của \(MO\) với \(BD,AB\).
a) Chứng minh \(MAOB\) là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh \(OM{\rm{ // }}BC\) và \(I{M^2} = IB.ID\).
c) Gọi \(L\) là giao điểm của \(IK\) và \(HC\). Chứng minh \(IM = IH\) và \(M,B,L\) thẳng hàng.
Câu hỏi trong đề: Đề thi thử vào lớp 10 môn Toán năm 2026 Hà Nội !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
![Suy ra \[\widehat {CLB} = \widehat {HLM}\]v\[LM\] nên \(M,B,L\) thẳng hàng. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/05/picture10-1778295367.png)
a) Chứng minh \(MAOB\) là tứ giác nội tiếp.
Xét \[\Delta MAO\] vuông tại \[A\] có cạnh huyền \[MO\] nên \[A\],\[M\],\[O\] thuộc đường tròn đường kính \[MO\] Xét \[\Delta MBO\]vuông tại \[B\] có cạnh huyền \[MO\] nên \[B\],\[M\] ,\[O\] thuộc đường tròn đường kính \[MO\] Do đó \[M\], \[O\], \[A\], \[B\] thuộc đường tròn đường kính \[MO\].
Vậy \(MAOB\) là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh \(OM{\rm{ // }}BC\) và \(I{M^2} = IB.ID\).
Chứng minh \(OM{\rm{ // }}BC\)
Xét \[\left( O \right)\] có \[MA\] và \[MB\] là hai tiếp tuyến cắt nhau nên: \[MA = MB\]; \[\widehat {AOM} = \widehat {BOM}\]; \[\widehat {AMO} = \widehat {BMO}\]
Xét \[\Delta OAB\] cân tại \[A\] (\[OA = OB = R\]) có \[OM\] là phân giác đồng thời là đường cao hay \[OH \bot AB\]. (3)
Xét \[\left( O \right)\]có đường kính \[AC\] nên: \[\widehat {ABC} = 90^\circ \] hay \[BC \bot AB\] (4)
Từ (3) và (4) suy ra \[OH{\rm{ // }}BC\] hay \(OM{\rm{ // }}BC\).
Chứng minh: \(I{M^2} = IB.ID\).
![Suy ra \[\widehat {CLB} = \widehat {HLM}\]v\[LM\] nên \(M,B,L\) thẳng hàng. (ảnh 2)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/05/picture11-1778295386.png)
• Xét \[\left( O \right)\] có: \[\widehat {BDC} = \widehat {BAC}\] góc nội tiếp cùng chắn
Lại có: \[\left\{ \begin{array}{l}\widehat {AMO} + \widehat {AOM} = 90^\circ \\\widehat {BAC} + \widehat {AOM} = 90^\circ \end{array} \right.\] nên \[\widehat {AMO} = \widehat {BAC}\]; \[\widehat {MDI} = \widehat {BDC}\] (đối đỉnh); \[\widehat {AMO} = \widehat {BMO}\]
Suy ra: \[\widehat {BMO} = \widehat {MDI}\]
• Xét \[\Delta IDM\] và \[\Delta IMB\]có: \[\widehat {MIB}\] chung ; \[\widehat {BMO} = \widehat {MDI}\]
nên (g.g)
Suy ra: \[\frac{{ID}}{{IM}} = \frac{{IM}}{{IB}}\] hay \[I{M^2} = IB.ID\] (đpcm) (5).
c) Gọi \(L\) là giao điểm của \(IK\) và \(HC\). Chứng minh \(IM = IH\) và \(M,B,L\) thẳng hàng.
Chứng minh \(IM = IH\)
- Kẻ đường kính \[BE\]
![Suy ra \[\widehat {CLB} = \widehat {HLM}\]v\[LM\] nên \(M,B,L\) thẳng hàng. (ảnh 3)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/05/picture12-1778295411.png)
Xét \[\left( O \right)\]có đường kính \[AC\] nên: \[\widehat {ADC} = 90^\circ \] hay \[AD \bot MC\]
Xét \[\Delta MHA\]vuông tại \[H\] có cạnh huyền \[MA\] nên \[A\],\[M\],\[H\] thuộc đường tròn đường kính \[MA\] Xét \[\Delta MDA\]vuông tại \[D\] có cạnh huyền \[MA\] nên \[A\],\[M\],\[D\] thuộc đường tròn đường kính \[MA\] Do đó \[M\], \[D\], \[A\], \[H\] thuộc đường tròn đường kính \[MA\] hay \(MDHA\) nội tiếp.
Suy ra \[\widehat {ADH} = \widehat {AMO}\] (góc nội tiếp cùng chắn cung )
Vì \(MAOB\) nội tiếp nên \[\widehat {AMO} = \widehat {OBA}\] (góc nội tiếp cùng chắn cung )
Xét \[\left( O \right)\] có \[\widehat {ADE} = \widehat {ABE}\] (góc nội tiếp cùng chắn cung )
Suy ra \[\widehat {ADH} = \widehat {ADE}\] nên tia \[DH\] trùng tia \[DE\] hay \[D\],\[H\],\[E\] thẳng hàng.
Xét \[\left( O \right)\] có đường kính \[BE\] nên: \[\widehat {EDB} = 90^\circ \] hay \[ED \bot IB\].
Xét \[\Delta IHB\] vuông tại \[H\]có đường cao \[HD\] nên: \[I{H^2} = ID.IB\].
Lại có \[I{M^2} = IB.ID\] (câu b) suy ra \(IM = IH\).
Chứng minh: \(M,B,L\) thẳng hàng.
![Suy ra \[\widehat {CLB} = \widehat {HLM}\]v\[LM\] nên \(M,B,L\) thẳng hàng. (ảnh 4)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/05/picture13-1778295436.png)
Gọi \[IK\] cắt \[CB\] tại \[F\].
Ta có \(OM{\rm{ // }}BC\) suy ra: \[\frac{{FC}}{{IM}} = \frac{{FK}}{{KI}}\];\[\frac{{BF}}{{IH}} = \frac{{FK}}{{KI}}\] nên \[\frac{{FC}}{{IM}} = \frac{{BF}}{{IH}}\].
Mà \(IM = IH\) hay \[FC = BF\]suy ra \[F\]là trung điểm của \[BC\].
Ta có \[FC{\rm{ // }}HI\] suy ra: \[\frac{{LC}}{{LH}} = \frac{{CF}}{{HI}} = \frac{{2.CF}}{{2.HI}} = \frac{{BC}}{{MH}}\] hay \[\frac{{LC}}{{LH}} = \frac{{BC}}{{MH}}\].
Vì \(OM{\rm{ // }}BC\) nên \[\widehat {BCL} = \widehat {MHL}\].
Xét \[\Delta LCB\] và \[\Delta LHM\]có: \[\widehat {BCL} = \widehat {MHL}\]; \[\frac{{LC}}{{LH}} = \frac{{BC}}{{MH}}\].
Do đó (c.g.c)
Suy ra \[\widehat {CLB} = \widehat {HLM}\] hay tia \[LB\] trùng tia \[LM\] nên \(M,B,L\) thẳng hàng.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Gọi \[x\] (xe) là số xe điện cùng loại cần sản xuất thêm để lợi nhuận trung bình của công ty là lớn nhất. Điều kiện: \[x \in \mathbb{N}*\]
Khi đó: Tổng số xe công ty sản xuất là \[3000 + x\] (xe)
Lợi nhuận trung bình mỗi xe khi tăng sản lượng là \[100 - 0,03x\] (triệu đồng)
Lợi nhuận trung bình của công ty khi tăng sản lượng là: \[A = \left( {3000 + x} \right)\left( {100 - 0,03x} \right)\] (triệu đồng)
Ta có \[A = \left( {3000 + x} \right)\left( {100 - 0,03x} \right)\]\[ = - 0,03{x^2} + 10x + 300\,\,000\]
\[ = - 0,03\left( {{x^2} - 2.\frac{{500}}{3}x + \frac{{250\,\,000}}{9} - \frac{{250\,\,000}}{9}} \right) + 300\,\,000\]
\[ = - 0,03{\left( {x - \frac{{500}}{3}} \right)^2} + \frac{{2500}}{3} + 300\,\,000\]
\[ = - 0,03{\left( {x - \frac{{500}}{3}} \right)^2} + \frac{{902\,\,500}}{3}\]
Mà \[ - 0,03{\left( {x - \frac{{500}}{3}} \right)^2} \le 0\] với mọi giá trị của \[x\] thỏa mãn điều kiện nên \[A \le \frac{{902\,\,500}}{3}.\]
Dấu xảy ra khi \[x = \frac{{500}}{3} \approx 166,67\].
Mà \[x \in \mathbb{N}*\] nên \[x = 167\].
Vậy công ty nên sản xuất thêm 167 xe điện cùng loại để lợi nhuận trung bình của công ty là lớn nhất.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Theo định lý Viète, ta có:
\(S = {x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = 2\)
\(P = {x_1} \cdot {x_2} = \frac{c}{a} = - 2\, \ne 0\)\( \Rightarrow {x_1} \ne 0,\,{x_2} \ne 0\).
Ta có \(\frac{m}{{{x_1} + {x_2}}} + \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} = 6\)
\(\frac{m}{{{x_1} + {x_2}}} + \frac{{x_1^2 + x_2^2}}{{{x_1}{x_2}}} = 6\)
\(\frac{m}{{{x_1} + {x_2}}} + \frac{{{{({x_1} + {x_2})}^2} - 2{x_1}{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = 6\)
\(\frac{m}{2} + \frac{{{2^2} - 2( - 2)}}{{ - 2}} = 6\)
\(\frac{m}{2} + \frac{{4 + 4}}{{ - 2}} = 6\)
\(\frac{m}{2} - 4 = 6\)
\(m = 20\)
Vậy \(m = 20\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập