Cho điểm \(M\) nằm ngoài đường tròn \((O)\). Kẻ hai tiếp tuyến \(MA,MB\) với \((O)\) (\(A,B\) là các tiếp điểm). Kẻ đường kính \(AC\) của \((O)\), \(MC\) cắt \(AB\) tại \(K\). Đoạn thẳng \(MC\) cắt \((O)\) tại điểm thứ hai là \(D\). Gọi \(I,H\) lần lượt là giao điểm của \(MO\) với \(BD,AB\).

a) Chứng minh \(MAOB\) là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh \(OM{\rm{ // }}BC\) và \(I{M^2} = IB.ID\).

c) Gọi \(L\) là giao điểm của \(IK\) và \(HC\). Chứng minh \(IM = IH\) và \(M,B,L\) thẳng hàng.

Gọi số dãy ghế ban đầu trong phòng là \(x\) (dãy).

Điều kiện: \(x \in {\mathbb{N}^*}\) và \(x > 5\).

Khi đó, số chỗ ngồi trên mỗi dãy ghế lúc đầu là: \(\frac{{40}}{x}\) (chỗ).

Số dãy ghế lúc sau là: \(x + 1\) (dãy).

Số chỗ ngồi trên mỗi dãy ghế lúc sau là: \(\frac{{40}}{x} + 1\) (chỗ).

Vì tổng số chỗ ngồi lúc sau là 55 nên ta có phương trình:

\((x + 1)\left( {\frac{{40}}{x} + 1} \right) = 55\)

\(40 + x + \frac{{40}}{x} + 1 = 55\)

\(x + \frac{{40}}{x} - 14 = 0\)

\({x^2} - 14x + 40 = 0\)

\(\Delta ' = {( - 7)^2} - 1 \cdot 40 = 49 - 40 = 9 > 0\)

\(\sqrt {\Delta '}  = 3\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1} = 7 + 3 = 10\) (thỏa mãn điều kiện \(x > 5\))

\({x_2} = 7 - 3 = 4\) (không thỏa mãn điều kiện \(x > 5\))

Vậy lúc đầu trong phòng tư vấn có 10 dãy ghế.

Gọi \[x\] (xe) là số xe điện cùng loại cần sản xuất thêm để lợi nhuận trung bình của công ty là lớn nhất. Điều kiện: \[x \in \mathbb{N}*\]

Khi đó: Tổng số xe công ty sản xuất là \[3000 + x\] (xe)

Lợi nhuận trung bình mỗi xe khi tăng sản lượng là \[100 - 0,03x\] (triệu đồng)

Lợi nhuận trung bình của công ty khi tăng sản lượng là: \[A = \left( {3000 + x} \right)\left( {100 - 0,03x} \right)\] (triệu đồng)

Ta có \[A = \left( {3000 + x} \right)\left( {100 - 0,03x} \right)\]\[ =  - 0,03{x^2} + 10x + 300\,\,000\]

\[ =  - 0,03\left( {{x^2} - 2.\frac{{500}}{3}x + \frac{{250\,\,000}}{9} - \frac{{250\,\,000}}{9}} \right) + 300\,\,000\]

\[ =  - 0,03{\left( {x - \frac{{500}}{3}} \right)^2} + \frac{{2500}}{3} + 300\,\,000\]

\[ =  - 0,03{\left( {x - \frac{{500}}{3}} \right)^2} + \frac{{902\,\,500}}{3}\]

Mà \[ - 0,03{\left( {x - \frac{{500}}{3}} \right)^2} \le 0\] với mọi giá trị của \[x\] thỏa mãn điều kiện nên \[A \le \frac{{902\,\,500}}{3}.\]

Dấu  xảy ra khi \[x = \frac{{500}}{3} \approx 166,67\].

Mà \[x \in \mathbb{N}*\] nên \[x = 167\].

Vậy công ty nên sản xuất thêm 167 xe điện cùng loại để lợi nhuận trung bình của công ty là lớn nhất.