Một hộp sữa có dạng hình trụ với bán kính đáy \(4,5\,\left( {cm} \right)\) và chiều cao hộp sữa gấp đôi bán kính đáy. (Lấy \(\pi  \approx 3,14\)).

a) Tính diện tích xung quanh của hộp sữa.

b) Tính thể tích lượng sữa chứa bên trong hộp. Biết rằng để đảm bảo chất lượng khi đóng gói và vận chuyển, lượng sữa trong hộp chiếm \(90\% \) thể tích hộp sữa. (Bỏ qua bề dày của hộp sữa).

a) Chứng minh \(MAOB\) là tứ giác nội tiếp.

Xét \[\Delta MAO\] vuông tại \[A\] có cạnh huyền \[MO\] nên \[A\],\[M\],\[O\] thuộc đường tròn đường kính \[MO\] Xét \[\Delta MBO\]vuông tại \[B\] có cạnh huyền \[MO\] nên \[B\],\[M\] ,\[O\] thuộc đường tròn đường kính \[MO\] Do đó \[M\], \[O\], \[A\], \[B\] thuộc đường tròn đường kính \[MO\].

Vậy \(MAOB\) là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh \(OM{\rm{ // }}BC\) và \(I{M^2} = IB.ID\).

Chứng minh \(OM{\rm{ // }}BC\)

Xét \[\left( O \right)\] có \[MA\] và \[MB\] là hai tiếp tuyến cắt nhau nên: \[MA = MB\]; \[\widehat {AOM} = \widehat {BOM}\]; \[\widehat {AMO} = \widehat {BMO}\]

Xét \[\Delta OAB\] cân tại \[A\] (\[OA = OB = R\]) có \[OM\] là phân giác đồng thời là đường cao hay \[OH \bot AB\]. (3)

Xét \[\left( O \right)\]có đường kính \[AC\] nên: \[\widehat {ABC} = 90^\circ \] hay \[BC \bot AB\] (4)

Từ (3) và (4) suy ra \[OH{\rm{ // }}BC\] hay \(OM{\rm{ // }}BC\).

Chứng minh: \(I{M^2} = IB.ID\).

Gọi \[x\] (xe) là số xe điện cùng loại cần sản xuất thêm để lợi nhuận trung bình của công ty là lớn nhất. Điều kiện: \[x \in \mathbb{N}*\]

Khi đó: Tổng số xe công ty sản xuất là \[3000 + x\] (xe)

Lợi nhuận trung bình mỗi xe khi tăng sản lượng là \[100 - 0,03x\] (triệu đồng)

Lợi nhuận trung bình của công ty khi tăng sản lượng là: \[A = \left( {3000 + x} \right)\left( {100 - 0,03x} \right)\] (triệu đồng)

Ta có \[A = \left( {3000 + x} \right)\left( {100 - 0,03x} \right)\]\[ =  - 0,03{x^2} + 10x + 300\,\,000\]

\[ =  - 0,03\left( {{x^2} - 2.\frac{{500}}{3}x + \frac{{250\,\,000}}{9} - \frac{{250\,\,000}}{9}} \right) + 300\,\,000\]

\[ =  - 0,03{\left( {x - \frac{{500}}{3}} \right)^2} + \frac{{2500}}{3} + 300\,\,000\]

\[ =  - 0,03{\left( {x - \frac{{500}}{3}} \right)^2} + \frac{{902\,\,500}}{3}\]

Mà \[ - 0,03{\left( {x - \frac{{500}}{3}} \right)^2} \le 0\] với mọi giá trị của \[x\] thỏa mãn điều kiện nên \[A \le \frac{{902\,\,500}}{3}.\]

Dấu  xảy ra khi \[x = \frac{{500}}{3} \approx 166,67\].

Mà \[x \in \mathbb{N}*\] nên \[x = 167\].

Vậy công ty nên sản xuất thêm 167 xe điện cùng loại để lợi nhuận trung bình của công ty là lớn nhất.