Một hộp sữa có dạng hình trụ với bán kính đáy \(4,5\,\left( {cm} \right)\) và chiều cao hộp sữa gấp đôi bán kính đáy. (Lấy \(\pi  \approx 3,14\)).

a) Tính diện tích xung quanh của hộp sữa.

b) Tính thể tích lượng sữa chứa bên trong hộp. Biết rằng để đảm bảo chất lượng khi đóng gói và vận chuyển, lượng sữa trong hộp chiếm \(90\% \) thể tích hộp sữa. (Bỏ qua bề dày của hộp sữa).

a) Chứng minh \(MAOB\) là tứ giác nội tiếp.

Xét \[\Delta MAO\] vuông tại \[A\] có cạnh huyền \[MO\] nên \[A\],\[M\],\[O\] thuộc đường tròn đường kính \[MO\] Xét \[\Delta MBO\]vuông tại \[B\] có cạnh huyền \[MO\] nên \[B\],\[M\] ,\[O\] thuộc đường tròn đường kính \[MO\] Do đó \[M\], \[O\], \[A\], \[B\] thuộc đường tròn đường kính \[MO\].

Vậy \(MAOB\) là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh \(OM{\rm{ // }}BC\) và \(I{M^2} = IB.ID\).

Chứng minh \(OM{\rm{ // }}BC\)

Xét \[\left( O \right)\] có \[MA\] và \[MB\] là hai tiếp tuyến cắt nhau nên: \[MA = MB\]; \[\widehat {AOM} = \widehat {BOM}\]; \[\widehat {AMO} = \widehat {BMO}\]

Xét \[\Delta OAB\] cân tại \[A\] (\[OA = OB = R\]) có \[OM\] là phân giác đồng thời là đường cao hay \[OH \bot AB\]. (3)

Xét \[\left( O \right)\]có đường kính \[AC\] nên: \[\widehat {ABC} = 90^\circ \] hay \[BC \bot AB\] (4)

Từ (3) và (4) suy ra \[OH{\rm{ // }}BC\] hay \(OM{\rm{ // }}BC\).

Chứng minh: \(I{M^2} = IB.ID\).

Gọi số dãy ghế ban đầu trong phòng là \(x\) (dãy).

Điều kiện: \(x \in {\mathbb{N}^*}\) và \(x > 5\).

Khi đó, số chỗ ngồi trên mỗi dãy ghế lúc đầu là: \(\frac{{40}}{x}\) (chỗ).

Số dãy ghế lúc sau là: \(x + 1\) (dãy).

Số chỗ ngồi trên mỗi dãy ghế lúc sau là: \(\frac{{40}}{x} + 1\) (chỗ).

Vì tổng số chỗ ngồi lúc sau là 55 nên ta có phương trình:

\((x + 1)\left( {\frac{{40}}{x} + 1} \right) = 55\)

\(40 + x + \frac{{40}}{x} + 1 = 55\)

\(x + \frac{{40}}{x} - 14 = 0\)

\({x^2} - 14x + 40 = 0\)

\(\Delta ' = {( - 7)^2} - 1 \cdot 40 = 49 - 40 = 9 > 0\)

\(\sqrt {\Delta '}  = 3\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1} = 7 + 3 = 10\) (thỏa mãn điều kiện \(x > 5\))

\({x_2} = 7 - 3 = 4\) (không thỏa mãn điều kiện \(x > 5\))

Vậy lúc đầu trong phòng tư vấn có 10 dãy ghế.