Xét phương trình bậc hai \({x^2} - 2x - 2 = 0\) có hai nghiệm \({x_1}\) và \({x_2}\), tìm tất cả giá trị của \(m\) thỏa mãn \(\frac{m}{{{x_1} + {x_2}}} + \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} = 6\).

a) Chứng minh \(MAOB\) là tứ giác nội tiếp.

Xét \[\Delta MAO\] vuông tại \[A\] có cạnh huyền \[MO\] nên \[A\],\[M\],\[O\] thuộc đường tròn đường kính \[MO\] Xét \[\Delta MBO\]vuông tại \[B\] có cạnh huyền \[MO\] nên \[B\],\[M\] ,\[O\] thuộc đường tròn đường kính \[MO\] Do đó \[M\], \[O\], \[A\], \[B\] thuộc đường tròn đường kính \[MO\].

Vậy \(MAOB\) là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh \(OM{\rm{ // }}BC\) và \(I{M^2} = IB.ID\).

Chứng minh \(OM{\rm{ // }}BC\)

Xét \[\left( O \right)\] có \[MA\] và \[MB\] là hai tiếp tuyến cắt nhau nên: \[MA = MB\]; \[\widehat {AOM} = \widehat {BOM}\]; \[\widehat {AMO} = \widehat {BMO}\]

Xét \[\Delta OAB\] cân tại \[A\] (\[OA = OB = R\]) có \[OM\] là phân giác đồng thời là đường cao hay \[OH \bot AB\]. (3)

Xét \[\left( O \right)\]có đường kính \[AC\] nên: \[\widehat {ABC} = 90^\circ \] hay \[BC \bot AB\] (4)

Từ (3) và (4) suy ra \[OH{\rm{ // }}BC\] hay \(OM{\rm{ // }}BC\).

Chứng minh: \(I{M^2} = IB.ID\).

Gọi số dãy ghế ban đầu trong phòng là \(x\) (dãy).

Điều kiện: \(x \in {\mathbb{N}^*}\) và \(x > 5\).

Khi đó, số chỗ ngồi trên mỗi dãy ghế lúc đầu là: \(\frac{{40}}{x}\) (chỗ).

Số dãy ghế lúc sau là: \(x + 1\) (dãy).

Số chỗ ngồi trên mỗi dãy ghế lúc sau là: \(\frac{{40}}{x} + 1\) (chỗ).

Vì tổng số chỗ ngồi lúc sau là 55 nên ta có phương trình:

\((x + 1)\left( {\frac{{40}}{x} + 1} \right) = 55\)

\(40 + x + \frac{{40}}{x} + 1 = 55\)

\(x + \frac{{40}}{x} - 14 = 0\)

\({x^2} - 14x + 40 = 0\)

\(\Delta ' = {( - 7)^2} - 1 \cdot 40 = 49 - 40 = 9 > 0\)

\(\sqrt {\Delta '}  = 3\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1} = 7 + 3 = 10\) (thỏa mãn điều kiện \(x > 5\))

\({x_2} = 7 - 3 = 4\) (không thỏa mãn điều kiện \(x > 5\))

Vậy lúc đầu trong phòng tư vấn có 10 dãy ghế.