(1,5 điểm)

Cho hai biểu thức \[A = \frac{{\sqrt x  + 5}}{{\sqrt x }}\] và \[B = \left( {\frac{{8 - \sqrt x }}{{x - 9}} + \frac{2}{{\sqrt x  + 3}}} \right) \cdot \frac{{x - 3\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}\] với \[x > 0;x \ne 9\].

1. Tính giá trị biểu thức \[A\] tại \[x = 4\].

2. Chứng minh \[B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}}\].

3. Cho \[P = A \cdot B\]. Tìm các giá trị của \[x\] để \[P\] nhận giá trị là số nguyên.

1. Thay \[x = 4\] (TMĐK) vào biểu thức \[A\] ta được:

\[A = \frac{{\sqrt 4  + 5}}{{\sqrt 4 }} = \frac{{2 + 5}}{2} = \frac{7}{2}\].

Vậy \[A = \frac{7}{2}\] tại \[x = 4\].

2. Ta có:

\[B = \left( {\frac{{8 - \sqrt x }}{{x - 9}} + \frac{2}{{\sqrt x  + 3}}} \right) \cdot \frac{{x - 3\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}\]

\[B = \left( {\frac{{8 - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}} + \frac{{2\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}} \right) \cdot \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 3} \right)}}{{\sqrt x  + 2}}\]

\[B = \frac{{8 - \sqrt x  + 2\sqrt x  - 6}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 3} \right)}}{{\sqrt x  + 2}}\]

\[B = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 3} \right)}}{{\sqrt x  + 2}}\]

\[B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}}\]

3. Ta có \[P = A \cdot B = \frac{{\sqrt x  + 5}}{{\sqrt x }} \cdot \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} = \frac{{\sqrt x  + 5}}{{\sqrt x  + 3}} = 1 + \frac{2}{{\sqrt x  + 3}}\]

Để \[P\] nhận giá trị là số nguyên thì \[1 + \frac{2}{{\sqrt x  + 3}} \in \mathbb{Z}\] hay \[\frac{2}{{\sqrt x  + 3}} \in \mathbb{Z}\].

Với \[x > 0;x \ne 9\] ta có \[\sqrt x  > 0\].

Suy ra \[\sqrt x  + 3 > 3\], do đó \[0 < \frac{2}{{\sqrt x  + 3}} < \frac{2}{3}\].

Vậy không có giá trị nào của \[x\] thoả mãn \[P\] nhận giá trị là số nguyên.