(1,0 điểm) Cho phương trình: \({x^2} + (3 - 2m)x - 4 = 0\). Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1};\,{x_2}\) sao cho \(\left( {1 - x_1^2} \right)\left( {1 - x_2^2} \right) - 2{x_1} - 2{x_2} = 10\).

14

(2,0đ)

1

(1,0đ)

1. Do NA là tiếp tuyến của  đường tròn tâm O nên \(\widehat {NAO} = 90^\circ \)

Suy ra \(\Delta NAO\)  vuông tại \[A\], nên \[A\] thuộc đường tròn đường kính \[ON\](1)

Do \[NC \bot OC\] vuông góc với  nên  \(\widehat {NCO} = 90^\circ \) hay \(\Delta NCO\) vuông tại \[C\] nên \[C\] thuộc đường tròn đường kính ON.

Vậy 4 điểm A, N, C, O cùng thuộc đường tròn đường kính \[ON\] (2).

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ANCO nội tiếp đường tròn.

0,25

0,25

0,25

0,25

2

(1,0đ)

2. \(NB\) là tiếp tuyến của \((O)\)

Xét tam giác \(OAB\) cân tại \(O\) có \(OK\) là đường cao nên đồng thời là phân giác \( \Rightarrow \widehat {BOK} = \widehat {AOK}\) suy ra \(\Delta OBN = \Delta OAN\) (c.g.c)

\( \Rightarrow \widehat {OBN} = \widehat {OAN} = 90^\circ \)  \( \Rightarrow OB \bot NB\) \( \Rightarrow \) \(NB\) là tiếp tuyến của \((O)\).

* Xét  \(\Delta OKM\) và \(\Delta OCN\) có \(\widehat {NOC}\) chung và \(\widehat {OKM} = \widehat {OCN} = {90^0}\)

Suy ra $\Delta OKM\backsim \Delta OCN$ (g.g) \( \Rightarrow \frac{{OM}}{{ON}} = \frac{{OK}}{{OC}}\) \( \Rightarrow OM.OC = OK.ON\)

Xét tam giác \(OAN\) vuông tại \(A\) có \(AK\) là đường cao nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có \(OK.ON = O{A^2} = {R^2}\)

Vậy \(OM.OC = {R^2}\).

3.  Gọi \(I\) là giao điểm của \(DN\) và \(BH\).

Ta có \({\rm{BH //AN}}\) (cùng vuông góc với \(AD\) )\( \Rightarrow \frac{{IH}}{{AN}} = \frac{{DH}}{{DA}} \Rightarrow IH.DA = DH.AN\) (1)

Do B thuộc đường tròn tâm O đường kính \(AD\)  \[ \Rightarrow \widehat {ABD} = {90^0}\]

\( \Rightarrow BD \bot AB\) mà \(ON \bot AB(gt)\) \( \Rightarrow BD{\rm{ // }}ON\)

\[ \Rightarrow \widehat {HDB} = \widehat {AON}\] (đồng vị) $\Rightarrow \Delta HDB\backsim \Delta AON\left(g.g\right)$

\( \Rightarrow \frac{{HB}}{{AN}} = \frac{{HD}}{{AO}} \Rightarrow HB.AO = HD.AN\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(IH.DA = HB.AO\) mà \(DA = 2.AO\).

\( \Rightarrow IH.2 = HB\). Hay I là trung điểm của HB.

0,25

0,25

0,25

0,25

15

(0,5đ)

Gọi số máy móc công ty nên sử dụng là \(x\) (máy, \(x > 0\))

Trong một giờ, số quả bóng tennis sản xuất được là \(30x\) (quả bóng)

Như vậy, số giờ để sản xuất \(8000\) quả bóng là \(\frac{{8000}}{{30x}}\) (giờ)

Mỗi giờ phải trả \(192\) nghìn đồng cho người giám sát và chi phí thiết lập cho mỗi máy là \(200\) nghìn đồng nên chi phí sản xuất là

\(B = 200\,\,000x + \frac{{8\,\,000}}{{30x}}.192\,\,000 = 200\,\,\,000x + \frac{{51\,\,200\,\,000}}{x}\) (đồng).

Với hai số không âm a và b ta có \({\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)^2} \ge 0\) suy ra \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \)

Áp dụng bất đẳng thức trên với hai số dương \(200\,\,000x\) và \(\frac{{51\,\,200\,\,000}}{x}\), ta được :

\(200\,\,000x + \frac{{51\,\,200\,\,000}}{x} \ge 2\sqrt {200\,\,000x.\frac{{51\,\,200\,\,000}}{x}}  = 6\,\,400\,\,000\).

Dấu "=" xảy ra khi \(200\,\,000x = \frac{{51\,\,200\,\,000}}{x}\) nên \({x^2} = 256\), do đó \(x = 16\) (nhận) hay \(x =  - 16\) (loại).

Vậy số máy móc công ty nên sử dụng là \(16\) máy để chi phí sản xuất là thấp nhất.

0,25

0,25