(1,5 điểm)

Điểm khảo sát môn Toán của \(200\)học sinh khối 9 được thống kê trong bảng sau:

Nhóm	[0; 2)	[2; 4)	[4; 6)	[6; 8)	[8; 10)
Tần số (n)	4	20	48	?	56

a) Tìm số học sinh đạt điểm trong nhóm [6; 8).

b) Tìm tần số tương đối của nhóm [8; 10).

Bán kính đáy của vỏ lon hình trụ là: \[7:2 = 3,5\;(cm)\]

Diện tích nhôm để làm vỏ lon nước là: \[{S_{tp}} = 2\pi rh + 2\pi {r^2} = 2\pi .3,5.7,8 + 2\pi {.3,5^2} = 79,1\pi \;\left( {c{m^2}} \right)\]

0,25

0,25

Vỏ lon mẫu mới hình trụ có chiều cao \[12,5\;cm\]và bán kính đáy \[2,8\;cm\] nên diện tích nhôm để làm vỏ lon nước là: \[{S_{tp}} = 2\pi rh + 2\pi {r^2} = 2\pi .2,8.12,5 + 2\pi {.2,8^2} = 85,68\pi \;\left( {c{m^2}} \right)\]

Vì \[85,68\pi \; > 79,1\pi \] nên mẫu mới sử dụng nguyên liệu nhiều hơn.

0,5

Gọi số máy móc công ty nên sử dụng là \(x\) (máy) Điều kiện \(x > 0\).          

Trong một giờ, số quả bóng pickleball sản xuất được là \(40x\) (quả bóng)

Như vậy, số giờ để sản xuất \(100\,\,000\) quả bóng là \(\frac{{10\,000}}{{40x}} = \frac{{250}}{x}\) (giờ)

Mỗi giờ phải trả \(160\) nghìn đồng cho người giám sát và chi phí thiết lập cho mỗi máy là \(100\) nghìn đồng nên chi phí sản xuất là \(100\,\,000x + \frac{{250}}{x}.160\,\,000 = 100\,\,000x + \frac{{40\,\,000\,\,000}}{x}\) (đồng)    

Chứng minh BĐT Cauchy: Cho hai số \(a,b \ge 0\), ta có

\(\begin{array}{l}{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0\\a - 2\sqrt {ab} + b \ge 0\\a + b \ge 2\sqrt {ab} \end{array}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a = b\)

0,25

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương \(100\,\,000x\) và \(\frac{{40\,\,000\,\,000}}{x}\), ta được:

\(100\,\,000x + \frac{{40\,\,000\,\,000}}{x} \ge 2\sqrt {100\,\,000x.\frac{{40\,\,000\,\,000}}{x}} \)

\(100\,\,000x + \frac{{40\,\,000\,\,000}}{x} \ge 40\,\,000\,\,000\)

Dấu "=" xảy ra khi  \(100\,\,000x = \frac{{40\,\,000\,\,000}}{x}\)

\(\begin{array}{l}{x^2} = \frac{{40\,\,000\,\,000\,}}{{100\,\,000}}\\{x^2} = 400\end{array}\)

Suy ra \(x = 20\) (TM)

Vậy số máy móc công ty nên sử dụng là \(20\) máy để chi phí sản xuất là thấp nhất.

0,25