(4,0 điểm)

Để đựng nước ngọt có gas, nhà sản xuất đã thiết kế chiếc lon hình trụ tròn dáng thấp, đáy to có chiều cao \[7,8\;cm\] và đường kính đáy \[7\,cm\] được làm bằng nhôm.

a) Tính diện tích nhôm để làm một vỏ lon nước.

b) Để cải tiến mẫu mã, nhà thiết kế đã làm theo mẫu mới với dáng thon dài chiều cao của lon \[12,5\;cm\]và bán kính đáy \[2,8\;cm.\] Kiểu dáng nào sử dụng nguyên liệu nhiều hơn? (coi các mép gấp là không đáng kể).

Gọi số máy móc công ty nên sử dụng là \(x\) (máy) Điều kiện \(x > 0\).          

Trong một giờ, số quả bóng pickleball sản xuất được là \(40x\) (quả bóng)

Như vậy, số giờ để sản xuất \(100\,\,000\) quả bóng là \(\frac{{10\,000}}{{40x}} = \frac{{250}}{x}\) (giờ)

Mỗi giờ phải trả \(160\) nghìn đồng cho người giám sát và chi phí thiết lập cho mỗi máy là \(100\) nghìn đồng nên chi phí sản xuất là \(100\,\,000x + \frac{{250}}{x}.160\,\,000 = 100\,\,000x + \frac{{40\,\,000\,\,000}}{x}\) (đồng)    

Chứng minh BĐT Cauchy: Cho hai số \(a,b \ge 0\), ta có

\(\begin{array}{l}{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0\\a - 2\sqrt {ab} + b \ge 0\\a + b \ge 2\sqrt {ab} \end{array}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a = b\)

0,25

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương \(100\,\,000x\) và \(\frac{{40\,\,000\,\,000}}{x}\), ta được:

\(100\,\,000x + \frac{{40\,\,000\,\,000}}{x} \ge 2\sqrt {100\,\,000x.\frac{{40\,\,000\,\,000}}{x}} \)

\(100\,\,000x + \frac{{40\,\,000\,\,000}}{x} \ge 40\,\,000\,\,000\)

Dấu "=" xảy ra khi  \(100\,\,000x = \frac{{40\,\,000\,\,000}}{x}\)

\(\begin{array}{l}{x^2} = \frac{{40\,\,000\,\,000\,}}{{100\,\,000}}\\{x^2} = 400\end{array}\)

Suy ra \(x = 20\) (TM)

Vậy số máy móc công ty nên sử dụng là \(20\) máy để chi phí sản xuất là thấp nhất.

0,25

Gọi giá niêm yết của một chiếc bàn là và một chiếc quạt điện lần lượt là \(x,y\,\)(nghìn đồng) với \(0 < x < 850;\;0 < y < 850.\)

0,25

Giá của một chiếc bàn là sau khi giảm giá 10% là:

\(x - 0,1x = 0,9x\) (nghìn đồng)

Giá của một chiếc quạt điện sau khi giảm giá 20% là:

 \(y - 0,2y = 0,8y\) (nghìn đồng)

Vì giá niêm yết của một chiếc bàn là và một chiếc quạt điện có tổng số tiền \(850\,\,000\) đồng nên ta có phương trình: \(x + y = 850\,\,\,\left( 1 \right)\)

0,25

Vì bác Minh đã trả ít hơn \(125\,\,000\) đồng khi mua hai sản phẩm trên nên ta có phương trình: \(0,9x + 0,8y = 850 - 125 = 725\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 850}\\{0,9x + 0,8y = 725}\end{array}} \right.\]

0,25

Giải hệ phương trình, tìm được \((x;y) = (450;400)\)

Vậy giá niêm yết một chiếc bàn là là: \[450\] (nghìn đồng)

        giá niêm yết một chiếc quạt điện là: \[400\] (nghìn đồng)

0,25