Một gian thương đã trà trộn các sản phẩm sữa kém chất lượng (sữa giả) với các sản phẩm sữa chất lượng. Trong một lô hàng có \(20\) hộp sữa chất lượng và \(10\) hộp sữa giả. Sau khi một khách hàng đến mua \(1\) hộp sữa từ lô hàng trên thì lực lượng quản lý thị trường đến và lấy ngẫu nhiên \(3\)hộp sữa từ lô hàng đó đi kiểm tra. Các khẳng định sau là đúng hay sai?

Đáp án: 914

Chọn hệ tọa độ như hình vẽ.

Đường tròn có đường kính \(d = 8\) nên bán kính \(r = 4\).

Diện tích hình tròn: \({S_1} = 16\pi \).

Diện tích hình elip: \({S_2} = \pi .4.2 = 8\pi \).

Hai Elip lần lượt có phương trình là \(\left( {{E_1}} \right):\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\) và \(\left( {{E_2}} \right):\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).

Tọa độ giao điểm của hai Elip trong góc phần tư thứ nhất là nghiệm phương trình: \({x^2} + \frac{{1 - \frac{{{x^2}}}{{16}}}}{{16}} = 1 \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{16}}{5} \Rightarrow x = \frac{{4\sqrt 5 }}{5}\).

Diện tích của phần elip nằm dọc trong góc phần tư thứ nhất:

\({S_3} = \int\limits_0^{\frac{{4\sqrt 5 }}{5}} {\left( {2\sqrt {4 - {x^2}}  - \sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{16}}} } \right)} \,{\rm{d}}x\).

Diện tích phần tô đen là: \({S_4} = {S_1} - {S_2} - {\rm{\;4}}{S_3} = 16\pi  - 8\pi  - 4\int\limits_0^{\frac{{4\sqrt 5 }}{5}} {\left( {2\sqrt {4 - {x^2}}  - \sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{16}}} } \right)} \,{\rm{d}}x\).

Diện tích phần tô trắng là \({S_5} = 64 - 8\pi  - {S_4}\)

Vậy số tiền là \(T = {10^5}.\left( {8\pi .15 + {S_4}.20 + {S_5}.10} \right){.10^{ - 2}} \approx 914\)triệu đồng.

Đáp án: 16,6

Xác định các vectơ vận tốc:

Vectơ hướng \({\vec v_1} = (4;3;0)\) có độ dài \(|{\vec v_1}| = 5\), đặt \(\vec e = \frac{1}{5}{\vec v_1}\)

Vận tốc gió: \({\vec v_g} = 50 \cdot \vec e = (40;30;0){\rm{ km/h}}\).

Vận tốc tàu: \({\vec v_t} = 20 \cdot \vec e = (16;12;0){\rm{ km/h}}\).

Vị trí tàu khi trực thăng bắt đầu bay từ \(A\):

Thời gian từ lúc mất liên lạc đến khi trực thăng ở \(A\) là \(2\) phút \( = \frac{1}{{30}}\) giờ.

Vị trí tàu lúc này (\(T\prime \)): \(\overrightarrow {OT\prime }  = \overrightarrow {OT}  + \frac{1}{{30}}{\vec v_t} = (\frac{{908}}{{15}};\frac{{377}}{5};0)\).

Thiết lập phương trình gặp nhau:

- Gọi \(t\) (giờ) là thời gian trực thăng bay từ \(A\) đến vị trí phía trên con tàu.

- Thời gian hạ cánh là \(1\) phút \( = \frac{1}{{60}}\) giờ.

Nên tổng thời gian tàu di chuyển kể từ lúc trực thăng ở \(A\) đến khi gặp nhau trên mặt biển là \((t + \frac{1}{{60}})\) giờ.

-Vị trí tàu khi gặp nhau (\(M\)): \(\overrightarrow {OM}  = \overrightarrow {OT\prime }  + (t + \frac{1}{{60}}){\vec v_t}\).

-Tọa độ của tàu khi đó: \(\overrightarrow {OM}  = (\frac{{908}}{{15}} + 16(t + \frac{1}{{60}});\frac{{377}}{5} + 12(t + \frac{1}{{60}});0) = (60,8 + 16t;75,6 + 12t;0)\).

-Vì máy bay hạ cánh thẳng đứng, nên vị trí máy bay sau khi bay xong thời gian \(t\) phải có tọa độ ngang trùng với tọa độ ngang của tàu tại thời điểm hạ cánh xong (\(M\)).

- Vectơ dịch chuyển ngang của máy bay: \(\overrightarrow {AM\prime }  = (60,8 + 16t;75,6 + 12t;0)\).

- Mặt khác: $\overrightarrow{AM\text{'}}=t\left({\overrightarrow{v}}_2+{\overrightarrow{v}}_g\right)$ nên

\(t{\vec v_2} = \overrightarrow {AM\prime }  - t{\vec v_g} = (60,8 + 16t - 40t;75,6 + 12t - 30t;0) = (60,8 - 24t;75,6 - 18t;0)\).

Giải tìm \(t\) và tính tổng thời gian:

Với tốc độ tối đa \(|{\vec v_2}| = 400{\rm{ km/h}}\): \({(60,8 - 24t)^2} + {(75,6 - 18t)^2} = {(400t)^2}\).

\( \Leftrightarrow 3696,64 - 2918,4t + 576{t^2} + 5715,36 - 2721,6t + 324{t^2} = 160000{t^2}\).

\( \Leftrightarrow 159100{t^2} + 5640t - 9412 = 0\).

Nghiệm dương \(t \approx 0,2261\) giờ \( \approx 13,57\) phút.

Tổng thời gian từ lúc mất liên lạc: \(T = 2 + 13,57 + 1 = 16,57\) phút.

Làm tròn đến hàng phần chục: 16,6.