Một gian thương đã trà trộn các sản phẩm sữa kém chất lượng (sữa giả) với các sản phẩm sữa chất lượng. Trong một lô hàng có \(20\) hộp sữa chất lượng và \(10\) hộp sữa giả. Sau khi một khách hàng đến mua \(1\) hộp sữa từ lô hàng trên thì lực lượng quản lý thị trường đến và lấy ngẫu nhiên \(3\)hộp sữa từ lô hàng đó đi kiểm tra. Các khẳng định sau là đúng hay sai?

Đáp án: 914

Chọn hệ tọa độ như hình vẽ.

Đường tròn có đường kính \(d = 8\) nên bán kính \(r = 4\).

Diện tích hình tròn: \({S_1} = 16\pi \).

Diện tích hình elip: \({S_2} = \pi .4.2 = 8\pi \).

Hai Elip lần lượt có phương trình là \(\left( {{E_1}} \right):\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\) và \(\left( {{E_2}} \right):\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).

Tọa độ giao điểm của hai Elip trong góc phần tư thứ nhất là nghiệm phương trình: \({x^2} + \frac{{1 - \frac{{{x^2}}}{{16}}}}{{16}} = 1 \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{16}}{5} \Rightarrow x = \frac{{4\sqrt 5 }}{5}\).

Diện tích của phần elip nằm dọc trong góc phần tư thứ nhất:

\({S_3} = \int\limits_0^{\frac{{4\sqrt 5 }}{5}} {\left( {2\sqrt {4 - {x^2}}  - \sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{16}}} } \right)} \,{\rm{d}}x\).

Diện tích phần tô đen là: \({S_4} = {S_1} - {S_2} - {\rm{\;4}}{S_3} = 16\pi  - 8\pi  - 4\int\limits_0^{\frac{{4\sqrt 5 }}{5}} {\left( {2\sqrt {4 - {x^2}}  - \sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{16}}} } \right)} \,{\rm{d}}x\).

Diện tích phần tô trắng là \({S_5} = 64 - 8\pi  - {S_4}\)

Vậy số tiền là \(T = {10^5}.\left( {8\pi .15 + {S_4}.20 + {S_5}.10} \right){.10^{ - 2}} \approx 914\)triệu đồng.

Đáp án: \[50,9\].

Gọi \(O = AC \cap BD\). Vì hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\) và đáy \(ABCD\) là hình vuông. \(AC = 6\sqrt 2 ,\;AO = \frac{{AC}}{2} = 3\sqrt 2 ,\;SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}}  = 3\sqrt 2 \).

Diện tích đáy \(ABCD\) là \(S = {6^2} = 36\;{m^2}\).

Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) là \(V = \frac{1}{3}.SO.S = \frac{1}{3}.3\sqrt 2 .36 = 36\sqrt 2 \;{m^3} \approx 50,9\;{m^3}\).