Trên một hòn đảo (kí hiệu là điểm \[A\]) có một người bị tai nạn nặng không thể di chuyển người bệnh và cần cấp cứu gấp. Do điều kiện trên đảo thiếu thuốc, máu và thiết bị y tế để cấp cứu cho bệnh nhân nên bác sĩ đã cử tàu ca nô đi về đất liền ở vị trí \[M\]. Cùng lúc tàu khởi hành, bệnh viện ở vị trí \[C\] đã cử xe cứu thương đưa thuốc, máu và vật tư y tế đến vị trí \[M\]. Biết rằng \[BC = 60{\rm{ }}km\], \[AB = 20{\rm{ }}km\], tàu đi với vận tốc \[60km/h\] và xe cứu thương đi với vận tốc\[80{\rm{ }}km/h\]. Tính thời gian sớm nhất để người bệnh có thể được cấp cứu. (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Đáp án: 29,12

Đặt\[BM{\rm{ }} = {\rm{ }}x\left( {km} \right)\], điều kiện\(0 \le x \le 60\).

Khi đó:

 Đoạn đường ca nô đi là\(AM = \sqrt {A{B^2} + B{M^2}}  = \sqrt {{{20}^2} + {x^2}}  = \sqrt {400 + {x^2}} (km)\).

 Đoạn đường xe cứu thương đi là \[CM{\rm{ }} = {\rm{ }}BC{\rm{ }} - {\rm{ }}BM{\rm{ }} = {\rm{ }}60{\rm{ }} - {\rm{ }}x{\rm{ }}\left( {km} \right)\]

Thời gian để ca nô đến \(M\) là: \({t_1}(x) = \frac{{\sqrt {400 + {x^2}} }}{{60}}\) (giờ).

Thời gian để xe cứu thương đến \(M\)là: \({t_2}(x) = \frac{{60 - x}}{{80}}\) (giờ).

Người bệnh được cấp cứu khi cả hai cùng có mặt tại \[M\]. Do đó, thời gian sớm nhất chính là lúc \({t_1}(x) = {t_2}(x)\) (vì nếu một bên đến trước vẫn phải đợi bên kia).

Giải phương trình bậc hai này, ta chọn nghiệm dương:

\(\begin{array}{l}\frac{{\sqrt {400 + {x^2}} }}{{60}} = \frac{{60 - x}}{{80}} \Leftrightarrow 4\sqrt {400 + {x^2}}  = 3(60 - x)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(x \le 60)\\ \Leftrightarrow 16(400 + {x^2}) = 9(3600 - 120x + {x^2})\\ \Leftrightarrow 6400 + 16{x^2} = 32400 - 1080x + 9{x^2}\\ \Leftrightarrow 7{x^2} + 1080x - 26000 = 0\end{array}\)

\[x = \frac{{ - 1080 + \sqrt {{{1080}^2} - 4 \cdot 7 \cdot ( - 26000)} }}{{2 \cdot 7}} \Leftrightarrow x = \frac{{ - 1080 + \sqrt {1894400} }}{{14}} \Leftrightarrow x \approx 21,17{\rm{ (km)}}\]

Thay \(x \approx 21,17\)vào biểu thức \({t_2}\):

\({t_2} = \frac{{60 - 21,17}}{{80}} = \frac{{38,83}}{{80}} \approx 0,485375{\rm{ }}\)(giờ)\( \approx \)\[29,12\] phút.