Trong không gian \(Oxyz\), cho 2 điểm \(M(3; - 2; - 1)\), \(N(4;3;1)\) và mặt phẳng \((P):z = - 5\). Mặt cầu \((S)\) đi qua \(M,N\) và luôn tiếp xúc với mặt phẳng \((P)\) tại \(A\) (điểm A di động).

Gọi \(A\) là biến cố: “Khách hàng mua phải hộp sữa giả”;

\(B\) là biến cố: “ Quản lý thị trường phát hiện lô hàng chứa sữa giả”.

a) Khi đó ta có: \(P(A) = \frac{{10}}{{30}} = \frac{1}{3}\).

Suy ra a) Đúng.

b) Ta có: \(P(\overline A )\) \( = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\); \[P(B|\overline A ){\rm{ }} = {\rm{ }}1 - \frac{{C_{19}^3}}{{C_{29}^3}} = \frac{{895}}{{1218}}\]; \(P(\overline B |A) = \frac{{C_{20}^3}}{{C_{29}^3}} = \frac{{190}}{{609}}\);

\(P(B|A) = 1 - P(\overline B |A) = 1 - \frac{{190}}{{609}} = \frac{{419}}{{609}}\).

Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

\(P(B) = P(A) \cdot P(B|A) + P(\bar A) \cdot P(B|\bar A) = \frac{1}{3}.\frac{{419}}{{609}} + \frac{2}{3}.\frac{{895}}{{1218}} = \frac{{146}}{{203}}\)

Suy ra b) Đúng.

c) \(P(B|A) = \frac{{419}}{{609}}\)

Suy ra c) Sai.

d) Từ công thức nhân xác suất ta có: \(P(A|B) = \frac{{P(A).P(B|A)}}{{P(B)}} = \frac{{\frac{1}{3}.\frac{{419}}{{609}}}}{{\frac{{146}}{{203}}}} = \frac{{419}}{{1314}}\).

Suy ra d) Đúng.

Đáp án: 914

Chọn hệ tọa độ như hình vẽ.

Đường tròn có đường kính \(d = 8\) nên bán kính \(r = 4\).

Diện tích hình tròn: \({S_1} = 16\pi \).

Diện tích hình elip: \({S_2} = \pi .4.2 = 8\pi \).

Hai Elip lần lượt có phương trình là \(\left( {{E_1}} \right):\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\) và \(\left( {{E_2}} \right):\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).

Tọa độ giao điểm của hai Elip trong góc phần tư thứ nhất là nghiệm phương trình: \({x^2} + \frac{{1 - \frac{{{x^2}}}{{16}}}}{{16}} = 1 \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{16}}{5} \Rightarrow x = \frac{{4\sqrt 5 }}{5}\).

Diện tích của phần elip nằm dọc trong góc phần tư thứ nhất:

\({S_3} = \int\limits_0^{\frac{{4\sqrt 5 }}{5}} {\left( {2\sqrt {4 - {x^2}}  - \sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{16}}} } \right)} \,{\rm{d}}x\).

Diện tích phần tô đen là: \({S_4} = {S_1} - {S_2} - {\rm{\;4}}{S_3} = 16\pi  - 8\pi  - 4\int\limits_0^{\frac{{4\sqrt 5 }}{5}} {\left( {2\sqrt {4 - {x^2}}  - \sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{16}}} } \right)} \,{\rm{d}}x\).

Diện tích phần tô trắng là \({S_5} = 64 - 8\pi  - {S_4}\)

Vậy số tiền là \(T = {10^5}.\left( {8\pi .15 + {S_4}.20 + {S_5}.10} \right){.10^{ - 2}} \approx 914\)triệu đồng.