Người ta dựng một cái lều hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh bằng \[6\;m\]. Tính thể tích của cái lều đó. (làm tròn đến hàng phần chục)

Đáp án: 914

Chọn hệ tọa độ như hình vẽ.

Đường tròn có đường kính \(d = 8\) nên bán kính \(r = 4\).

Diện tích hình tròn: \({S_1} = 16\pi \).

Diện tích hình elip: \({S_2} = \pi .4.2 = 8\pi \).

Hai Elip lần lượt có phương trình là \(\left( {{E_1}} \right):\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\) và \(\left( {{E_2}} \right):\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).

Tọa độ giao điểm của hai Elip trong góc phần tư thứ nhất là nghiệm phương trình: \({x^2} + \frac{{1 - \frac{{{x^2}}}{{16}}}}{{16}} = 1 \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{16}}{5} \Rightarrow x = \frac{{4\sqrt 5 }}{5}\).

Diện tích của phần elip nằm dọc trong góc phần tư thứ nhất:

\({S_3} = \int\limits_0^{\frac{{4\sqrt 5 }}{5}} {\left( {2\sqrt {4 - {x^2}}  - \sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{16}}} } \right)} \,{\rm{d}}x\).

Diện tích phần tô đen là: \({S_4} = {S_1} - {S_2} - {\rm{\;4}}{S_3} = 16\pi  - 8\pi  - 4\int\limits_0^{\frac{{4\sqrt 5 }}{5}} {\left( {2\sqrt {4 - {x^2}}  - \sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{16}}} } \right)} \,{\rm{d}}x\).

Diện tích phần tô trắng là \({S_5} = 64 - 8\pi  - {S_4}\)

Vậy số tiền là \(T = {10^5}.\left( {8\pi .15 + {S_4}.20 + {S_5}.10} \right){.10^{ - 2}} \approx 914\)triệu đồng.

Chọn a) Đúng | b) Sai| c) Sai | d) Đúng

a) Ta có diện tích tam giác \(ABC\) bằng \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4\) (đvdt).

Chọn ĐÚNG.

b) Vì parabol có đỉnh \(I\left( {0;\,6} \right)\) nằm trên \(Oy\) nên phương trình của parabol là \(y = a{x^2} + 6\).

Do \(C\left( { - 2;2} \right)\) và \(B\left( {2;2} \right)\) thuộc vào parabol nên ta có \(y =  - {x^2} + 6\).

Phương trình đường thẳng \(AB:y = x\).

Suy ra diện tích hình phẳng \(\left( H \right)\)là

\[2\int\limits_0^2 {\left( { - {x^2} + 6 - x} \right){\rm{d}}x = 2\left. {\left( { - \frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}{x^2} + 6x} \right)} \right|_0^2 = \frac{{44}}{3}} \].

Chọn SAI.

c) Khi hình \(\left( H \right)\) quay xung quanh \(Ox\), ta có

\({V_{Ox}} = 2\pi \int\limits_0^2 {\left[ {{{\left( { - {x^2} + 6} \right)}^2} - {x^2}} \right]{\rm{d}}x = \frac{{1312\pi }}{{15}}} \).

Chọn SAI.

d) Khi quay xung quanh \(Oy\), ta có thể tích bằng

\[{V_{Oy}} = \pi \int\limits_0^2 {{y^2}} {\rm{d}}y + \pi \int\limits_2^6 {{{\left( {\sqrt {6 - y} } \right)}^2}{\rm{ d}}y = } \frac{{8\pi }}{3} + 8\pi  = \frac{{32\pi }}{3}\].

Chọn ĐÚNG.