Do gặp mưa bão và sự cố nên một con tàu bị hỏng động cơ và thiết bị liên lạc. Tại thời điểm cuối cùng trước khi mất liên lạc con tàu, radar của trung tâm phòng chống lụt bão xác định được tàu ở vị trí \(T(60;75;0)\) trong hệ \(Oxyz\) mà mỗi đơn vị trên trục tương ứng có độ dài \(1{\rm{ km}}\). Đội cứu hộ đã ngay lập tức dùng trực thăng cứu hộ, sau \(2\) phút trực thăng ở vị trí \(A(0;0;2)\). Trong điều kiện bình thường (không gió) động cơ máy bay đẩy được máy bay bay với tốc độ tối đa \(400{\rm{ km/h}}\). Lúc này, sức gió mạnh sẽ đẩy máy bay với vận tốc \(50{\rm{ km/h}}\) và hướng theo \({\vec v_1} = (4;3;0)\). Động cơ trực thăng đẩy máy bay bay với vận tốc \(n{\rm{ km/h}}\), hướng theo \({\vec v_2} = (a;b;0)\). Một chuyên gia cứu hộ ở trung tâm phân tích được gió và sóng biển đẩy con tàu đi với vận tốc \(20{\rm{ km/h}}\) và cũng hướng theo \({\vec v_1} = (4;3;0)\) nên đã sử dụng phương án tối ưu, cho máy bay bay từ \(A\) hướng đến vị trí có thể gặp được con tàu sớm nhất. Tính từ thời điểm mất liên lạc con tàu, hãy tính thời gian sớm nhất máy bay tới được vị trí con tàu biết thời gian hạ cánh từ độ cao \(2{\rm{ km}}\) xuống mặt biển của máy bay là \(1\) phút (giả định để đảm bảo an toàn, máy bay cất và hạ cánh theo phương thẳng đứng đồng thời có cơ chế để cân bằng sức gió khi đó). (tính theo đơn vị phút và làm tròn đến hàng phần chục).

Đáp án: 16,6

Xác định các vectơ vận tốc:

Vectơ hướng \({\vec v_1} = (4;3;0)\) có độ dài \(|{\vec v_1}| = 5\), đặt \(\vec e = \frac{1}{5}{\vec v_1}\)

Vận tốc gió: \({\vec v_g} = 50 \cdot \vec e = (40;30;0){\rm{ km/h}}\).

Vận tốc tàu: \({\vec v_t} = 20 \cdot \vec e = (16;12;0){\rm{ km/h}}\).

Vị trí tàu khi trực thăng bắt đầu bay từ \(A\):

Thời gian từ lúc mất liên lạc đến khi trực thăng ở \(A\) là \(2\) phút \( = \frac{1}{{30}}\) giờ.

Vị trí tàu lúc này (\(T\prime \)): \(\overrightarrow {OT\prime }  = \overrightarrow {OT}  + \frac{1}{{30}}{\vec v_t} = (\frac{{908}}{{15}};\frac{{377}}{5};0)\).

Thiết lập phương trình gặp nhau:

- Gọi \(t\) (giờ) là thời gian trực thăng bay từ \(A\) đến vị trí phía trên con tàu.

- Thời gian hạ cánh là \(1\) phút \( = \frac{1}{{60}}\) giờ.

Nên tổng thời gian tàu di chuyển kể từ lúc trực thăng ở \(A\) đến khi gặp nhau trên mặt biển là \((t + \frac{1}{{60}})\) giờ.

-Vị trí tàu khi gặp nhau (\(M\)): \(\overrightarrow {OM}  = \overrightarrow {OT\prime }  + (t + \frac{1}{{60}}){\vec v_t}\).

-Tọa độ của tàu khi đó: \(\overrightarrow {OM}  = (\frac{{908}}{{15}} + 16(t + \frac{1}{{60}});\frac{{377}}{5} + 12(t + \frac{1}{{60}});0) = (60,8 + 16t;75,6 + 12t;0)\).

-Vì máy bay hạ cánh thẳng đứng, nên vị trí máy bay sau khi bay xong thời gian \(t\) phải có tọa độ ngang trùng với tọa độ ngang của tàu tại thời điểm hạ cánh xong (\(M\)).

- Vectơ dịch chuyển ngang của máy bay: \(\overrightarrow {AM\prime }  = (60,8 + 16t;75,6 + 12t;0)\).

- Mặt khác: $\overrightarrow{AM\text{'}}=t\left({\overrightarrow{v}}_2+{\overrightarrow{v}}_g\right)$ nên

\(t{\vec v_2} = \overrightarrow {AM\prime }  - t{\vec v_g} = (60,8 + 16t - 40t;75,6 + 12t - 30t;0) = (60,8 - 24t;75,6 - 18t;0)\).

Giải tìm \(t\) và tính tổng thời gian:

Với tốc độ tối đa \(|{\vec v_2}| = 400{\rm{ km/h}}\): \({(60,8 - 24t)^2} + {(75,6 - 18t)^2} = {(400t)^2}\).

\( \Leftrightarrow 3696,64 - 2918,4t + 576{t^2} + 5715,36 - 2721,6t + 324{t^2} = 160000{t^2}\).

\( \Leftrightarrow 159100{t^2} + 5640t - 9412 = 0\).

Nghiệm dương \(t \approx 0,2261\) giờ \( \approx 13,57\) phút.

Tổng thời gian từ lúc mất liên lạc: \(T = 2 + 13,57 + 1 = 16,57\) phút.

Làm tròn đến hàng phần chục: 16,6.